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简述费马大定理 一个困惑了世界智者358年的谜数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业105012007160 田国平【摘要】简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.【关键词】初等数论；费马猜想；费马大定理；启示 初等数论是研究整数性质的数学分支,同其它数学学科相比,它的历史古老且悠久,历史上许多最优秀的数学家都研究过数论,有数学王子之称的德国数学家高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.十七至十八世纪,数论的研究基本上仍然是凭借数学家的才智与技巧独立地解决问题,但是其成果的丰富、内容的深刻、问题的难度、技术的高超,却是难以想象的.一个题意明确、表达简单的问题,证明起来却有着意想不到的困难,仿佛唾手可得,却毕生求索,终归茫然,由此产生出一批号称“世界难题”的猜想,其数量之多是任何其他数学分支所不能比拟的.这一时期对数论贡献最大的,先是费马,然后是欧拉,他在数论方面,堪称为丢番图后第一人.现简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾分析费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.1费马及其猜想费马(Pierre Fennat,1601-1665)是法国数学家,生于法国南部图卢兹附近的波蒙地区.上大学时学的是法律,毕业后以律师为业,从30岁开始迷恋数学,他谦逊文雅,敏于思而慎于言,他发表的成果极少,然而贡献极大,在微积分、解析几何、概率论和数论等领域都有丰富的原始创新,因此他被誉为“业余数学家之王”.费马发表的多数成果在手稿、通信或页边空白处,许多重要思想和成果只写结论,很少写出证明,他的结论后来全靠瑞士数学家欧拉给出证明,其结果好像是费马编了一本高水平的习题集,欧拉则是解题者.由于费马有“研而不作”的习惯,因此,费马去世后,1670年由他的儿子萨缪尔费马将其遗作整理汇集成书出版.费马在数论中的重要贡献是证明并提出了许多命题.1640年,费马建立了所谓“费马小定理”：“若为素数,则,其中为任意整数.”1736年,欧拉给出了费马小定理的证明.同年,费马还提出形如“的费马数”问题.费马发现形如“”的 ,数皆为素数,据此他猜想“形的费马数皆为素数”.但1732年,欧拉给出了反例是合数!从而推翻了费马猜想.到目前为此,数学家们只发现了前5个费马素数,反而证明了50个费马合数,因此人们提出了反费马猜想“当时均为合数”.费马提出的最著名猜想是费马大定理.在公元三、四世纪之间,古希腊著名代数学家丢番图在他的著作算术中有一个不定方程“的整数解问题”,费马对这个不定方程很感兴趣,并在它的启发下提出了如下猜想.1637年前后,费马在丢番图的算术(译本)第二卷关于毕达哥拉斯三元组的页边空白处写下了一段结论：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者更一般地说,不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂之和.”接着他又俏皮地写下了一个附加的评注：“我对此命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下.”这就是说费马认为他证明了下面的结论：“当时,不定方程 没有正整数解”.上述的评注是在费马死后五年的1670年发表的.事实上人们遍寻费马的手迹,并没有发现这一“美妙的证明”,而只看到他对于的证明,费马对这一证明颇为得意,自命为“无穷递降法”,或许费马认为用这种方法可以证明任意的情形.但事实远不是如此简单,可能费马也未必想到,他的这一猜想竟然成为“引无数英雄竞折腰”的世界难题.后来很多数学家努力寻求这一问题的证明,以至于除了它以外,费尔马提出的所有猜想早已得到解决,所以,此猜想被证明后人们称它为费马大定理.这个困扰世间智者358年的谜团,终于在1994年,由一个英国出生,在普林斯顿大学数学系工作的数学家安德鲁怀尔斯(Andrew Wiles)所证明.2费尔马大定理获证始末从费马时代起,人们就不断地试证费马猜想.巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费马猜想的人.布鲁赛尔科学院也悬赏重金,但都无结果.数学家首先对费马猜想进行如下分析：“如果费马猜想对于某一个自然数成立,那么对的任何正整数倍数也成立”.事实上,假设无正整数解,将改写为：,如果(2)有正整数解,那么 , 就是(1)的一个正整数解,这与(1)无正整数解矛盾.又由于任何一个大于2的整数,如果不能被4整除,它就一定能被某一奇素数整除.因此,只要证明及是任一奇素数时结论成立,费马猜想就获证.这就为后来的证明指出了方向.1770年,欧拉证明了时费马大定理成立.1823年勒让德证明了成立；1825年狄利克雷也证明了成立；1831年靠自学成才的法国妇女索菲娅在假定 ,与互质的前提下,证明了对小于100的奇素数费马大定理成立；1832年狄利克雷证明了成立.1839年拉梅证明了成立；1849年,德国数学家库默尔取消了索菲娅关于 ,与互质的限制,将的上限推进到100；1987年美国罗瑟教授将的上限推进到41 000 000.为了研究的方便,数学家们对费马大定理作了相应的简化：“对于素数,当不能整除 ,之积时,不定方程无正整数解”,称此为费马大定理的第一种情形,这种情形的证明相对容易一些.法国数学家热尔曼和勒让德先后证明了对于所有素数,费马大定理的第一种情形成立.1847年至1851年,受费马问题的启发,库默尔引进了一种“理想数”,并发现了把分圆域的理想数分解为理想质数的惟一分解定理,这个定理今天已被推广到任一代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位.库默尔把素数分为正规素数和非正规素数,首先证明了对于正规素数,费马大定理成立.库默尔验证了100以内的奇素数除37、59、67是非正规素数外,其余全为正规素数.1857年库默尔证明了费马大定理成立；1892年米里曼诺夫证明了费马大定理成立.电子计算机发明并广泛应用后,对非正规素数的证明取得了新进展.1978年至1992年,证明了以内的非正规素数费马大定理成立.1948年至1985年证明了存在无穷多个素数使第一种情形成立.数学先驱者对费马大定理的证明得到了许多成果,促进了某些数学分支的发展,但是离定理的最终证明还相差很远.于是,一种思维方向是把问题具体化,寻找定理不成立的反例.经过验证发现以内的所有素数,费马大定理第一种情形都成立,80年代指数的上限已推进至,但是这个时期证明方法没有实质上的新思想,费马大定理的研究没有本质的进展,人们对完全解决费马大定理看不出任何希望.“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,历史确实在曲折地前进.另一种思维方向是寻找证明猜想的新思想和方案.数学家从命题“无正整数解”出发,在两边同时除以推出新命题：“曲线“无有理点”,这就把寻找代数方程整数解的问题转化为几何曲线上有理点的问题来解决.1922年英国数学家莫德尔提出猜想：“的代数曲线上有理点只有有限多个.”1983年德国数学家法尔廷斯证明了这一猜想.1985年英国数学家希斯 布朗利用这一结果证明了几乎所有素数使费马大定理成立.换言之,如果有使费马大定理不成立的素数,那么这样的素数在整个素数集合中是微不足道的.以上结论已经十分接近费马大定理了,但离定理的证明尚有并非容易跨越的“一步之遥”.费马大定理这“一步之遥”的证明最终由英国数学家怀尔斯完成.2O世纪5O年代,一些数学家发现椭圆函数与模函数有联系,并猜测椭圆曲线可由特殊的模函数单值化,这种椭圆曲线称为模曲线.1967年韦依提出了“谷山 志村一韦依(简称TSW)”猜想：“所有椭圆曲线都是模曲线”.1984年秋,德国数论学家弗雷(GFrey)在演讲中提出一个结论：“如果方程有一组非零整数解：,则椭圆曲线的方程),(此曲线后来称为弗雷曲线)不满足椭圆曲线的,TSW 猜想.”这就是说,“如果费马大定理不成立,那么著名的,TSW猜想也不成立”,即由“ TSW 猜想成立可以推出费马大定理成立!”这无疑给出了证明费马大定理的一个新方案、新思路.1990年,里贝特证明了弗雷提出的这一结论.因此,证明费马大定理的问题转化为证明TSW猜想,甚至只要对弗雷曲线证明,TSW猜想成立即可.但是当时多数数学家认为这是非常困难、非常遥远的事情.为完成这一极其困难的工作,1986年,怀尔斯开始长达7年的面壁生涯,除了教书、指导研究生和参加必要的讨论班外,不参加任何与之无关的学术会议和报告,躲进家中的书房,一心一意地研究,TSW 猜想,写出了一份200多页的论文.1993年6月23日,他在英国剑桥大学报告了他的研究结果.该论文经过严格审查,被发现有漏洞.在此困难的时刻,他没有放弃这项研究工作.之后,他开始与数学家查德泰勒(RTaylor)一起合作攻关,但一直到1994年夏天仍然没有新的突破.这年8月,世界数学家大会在苏黎世召开,怀尔斯已经和菲尔兹奖无缘,但大会仍然邀请他在闭幕式上作最后一个大会报告,这给了他极大地慰籍.就在会后不久,他突然产生一个想法,将原来放弃的岩泽理论与科利瓦金 弗莱切方法结合,终于使研究工作有了突破性进展,证明最后归结为一个纯代数问题：“关于Hecke环的完全交性质”,这最后关口的证明是他与泰勒共同完成的.1994年1O月怀尔斯的模椭圆曲线和费马大定理论文通过审查,1995年5月在国际权威数学刊物Annals of Mathematics正式发表.至此,一个困惑了人间智者358年的谜揭开了,费马大定理正式获证.1996年,怀尔斯获得沃尔夫奖.这个奖通常是授予毕生为世界数学做出突出贡献的长者,怀尔斯是第一位获此殊荣的四十多岁的年青数学家.1998年世界数学家大会授予他一个特别菲尔兹奖(因为他正式证明费马大定理的1994年时已经超过了四十岁).3.费马大定理获证的启示回顾费马大定理发现、探索、证明的历程,反思我们数学教育的经验与教训,可以启迪今天的数学教育应如何引导学生掌握正确的数学学习方法,激励学生主动发现、探索规律的创新意识,培养学生淡泊名利、实事求是、追求真理、锲而不舍、勇于创新的优秀品质.从费马大定理的证明过程可以看出,它是合情推理与归纳、演绎推理最完美结合的典范,没有当年的费马猜想,没有一代又一代数学家的严谨科学的态度与锲而不舍的归纳探索集成,也就没有今天的费马大定理.因此,猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方式,合情推理与归纳演绎是创新、创造与发现的重要源泉之一.但是,现在的数学教学中,恰恰忽视了合情推理,忽视了数学学习过程中猜测的力量,缺少对数学定理形成历史过程的阐述与剖析,呈现的是一些完美的结论和严谨的推理过程,只讲推理证明不讲猜想,只注重逻辑推理而忽视合情推理,将数学家火热的原创思维轨迹掩盖得一干二净,原本活生生的数学思维过程变成了抽象形式化的、冰冷的数学符号集合.这种教学方式极大地阻碍了学生创造性思维的产生和发展,这将导致学生对数学学习失去主动性与创造性,我们应该清醒地认识到这一点并努力改变这种现状.我们的数学教学应教给学生正确思考问题、提出问题、解决问题的方法,坚持既教证明,又教猜想,既重视演绎推理,也注重合情推理和归纳推理,并将逻辑推理还原为合情推理,将逻辑演绎追溯到归纳演绎,利用猜想、合情推理为学生提供探索发现的机会.费马大定理获证不仅仅是得出了新的结论,更重要的是对数学的发展起了推动作用,创造了新的数学理论和数学方法.在费马大定理证明过程中,受费马猜想问题的启发,德国数学家库默尔引进并研究了理想数的概念,经过其它数学家的研究和推广,这个概念已经渗透到分析、代数、集合等领域,同时他创造了理想质数的惟一分解定理,这个定理已被推广到任意代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位；英国数学家怀尔斯和泰勒共同证明了关于Hecke环的完全交性质,这些都极大地推动了数学学科的发展.因此,从某种意义上来说,一个著名数学难题的证明,往往伴随着新数学思想和背后数学思想方法的产生,而后者的产生比解决数学难题本身更有价值.费马大定理获证历程说明数学具有统一性,表面上看来不同的对象,有时蕴含着深刻的联系.在费马定理证明过程中的19世纪8O年代,对模椭圆曲线理论中的“弗雷曲线”性质的探索,导致人们将“TSW 猜想”与“费马大定理”紧密地联系在一起,这样就把一类几何问题与正整数问题联系起来,前者描述了空间连续的几何图形,后者是离散的数量关系,这两个南辕北辙的问题,却存在有机的联系,而英国的数学家怀尔斯正是从这个思路出发,最终证明费马大定理的.怀尔斯证明费马大定理,其最后关口的证明是他与泰勒共同完成的,这说明,在独自深入钻研的基础上,学术交流与合作同样至关重要,它常常是创新思维的产生或突破难点的催产素.因此,学科之间的交叉是至关重要,而创造良好的学术交流环境也同样十分重要,值得重视. 费马大定理获证体现了数学家追求真理、严谨科学的理性态度,蕴含着数学本身就是一种锲而不舍、勇于创新的探索精神.因此,今天的数学教育,在借鉴数学历史时,应重点放在理性及观念的层面上,从数学的角度逐渐融人数学人文价值观,使数学教育为整个民族承担起提升实事求是科学态度和勇于探索创新意识的重任.2006年6月,国际数学界关注了百年之久的重大世纪难题“庞加莱猜想”被两位华人数学家破解,著名的数学家杨乐指出,“中国数学家虽然参与证明了世界级数学难题,但在中国的数学研究和国际先进水平相比,还存在很大的差距”,杨乐认为,目前国内学术界急功近利的风气,严重制约了数学这样的基础科学的发展,他说：“搞基础研究,一定要耐得住寂寞,绝不能急于求成,争名争利.搞重大基础研究,需要放眼长远,同时要持之以恒.”,同时,杨乐还勉励中国数学家：“华罗庚先生说过,中国人可以在数学研究上做得更好.希望先生的这句话在不远的将来变成美好的现实”.不管是庞加莱猜想的破解、还是费马大定理获证的漫长而又艰辛历程,它都告诫人们,有时候一个数学难题的最终解决,往往是许多数学家、甚至是几代数学家共同努力的结果,科学的道路是崎岖不平的,只有那些在科学研究的道路上实事求是、追求真理、锲而不舍,勇于探索创新的人才有希望达到最光辉的顶点.参考文献1王树禾数学思想史M北京：国防工业出版社,20032452472王云葵费马伪素数及其奇妙性质J中学数学,2000,(9)：393闵嗣鹤,严士健初等数论M第3