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文档简介

1 定义 幂级数 一 函数项级数的一般概念 2 收敛点与收敛域 3 和函数 定义域是 函数项级数的部分和 余项 注意 x在收敛域上 函数项级数在某点x的收敛问题 实质上是数项级数的收敛问题 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛 原级数发散 收敛 发散 二 幂级数及其收敛性 1 定义 2 收敛性 证明 由 1 结论 几何说明 发散区域 发散区域 收敛区域 这是幂级数收敛的特性 推论 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 称为幂级数的收敛区间 收敛域 收敛区间 收敛的端点 可能是 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径 证明 由比值审敛法 定理证毕 若 在x0处收敛 则 在x0处发散 若 则 若 在x0处条件收敛 则 这是幂级数收敛的特性 注 利用该定理求收敛半径要求所有的 或只有有限个 例2求下列幂级数的收敛区间 解 该级数收敛 该级数发散 发散 收敛 故收敛区间为 0 1 如缺项 则 必不存在 但幂级数并不是没有收敛半径 此时不能 套用定理 可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径 例3 已知幂级数 的收敛半径R 1 求 的收敛半径 解 任取 由 收敛知 注 由检比法易得 收敛 故由比较审敛法知 在 故收敛半径 内绝对收敛 注意收敛半径为1 并不意味着 三 幂级数的运算 1 代数运算性质 1 加减法 其中 2 乘法 其中 3 除法 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 2 和函数的分析运算性质 收敛半径不变 收敛半径不变 解 两边积分得 例5 求和函数 解 收敛域为 记 则 并求 的和 故 故 常用已知和函数的幂级数 记住几个常见级数的和 常数项级数求和的一种重要方法 幂级数法或Abel法 四 小结 1 函数项级数的概念 2 幂级数的收敛性 收敛半径R 3 幂级数的运算 分析运算性质 思考题 幂级数逐项求导后 收敛半径不变 那么它的收敛域是否也不变 思
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