2008年北京导航高等数学讲义(上).doc

2008年暑期数学强化班考研辅导讲高 等 数 学 数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数二、学三和数四。第一章 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。第一节 函 数【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。一、函数的奇偶性设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。【考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。【例1】判别下列函数的奇偶性：【例2】设函数连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）。 【考点二】设二阶可导，则有：（1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。（2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。【例3（1997数学三、四）】若在内 且，则在内有( )（A）（B）（C）（D）【考点三】（1）连续的奇函数的原函数必是偶函数；连续的偶函数的原函数不一定是奇函数。（2）设是连续函数。如果是奇函数，是偶函数；如果是偶函数，则是奇函数。【例4】设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） 【例5】设是连续函数，的原函数，则（ ）（A）当是奇函数时，必是偶函数。（B）当是偶函数时，必是奇函数。（C）当是周期函数时，必是周期函数。（D）当是单调增函数时，必是单调增函数。二、函数的周期性对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。【考点四】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。【例6】设对任何存在常数。证明是周期函数。【例7】设,证明f(x)是以为周期的周期函数。【考点五】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，。【例8】设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函数的有界性设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。【考点六】（1）（有界性定理） 闭区间a,b上的连续函数必在a,b上有界。（2）若函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.【证明】补充函数f (x)在区间端点处的定义如下：令， ，则f (x)在区间左端点处右连续，在区间右端点处左连续，又由已知f (x)在开区间(a , b)内连续，所以，函数f (x)在闭区间a , b上连续。由闭区间上连续函数的有界性定理知，必在a,b上有界，故存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，从而对上述的正数M，当时，都有 成立，即函数f (x)在开区间(a , b)内有界.【评注】（1）函数是否有界是相对于某个区间而言的，与区间有关；（2）证明或判别函数有界性的主要方法包括五种，但考试重点集中在【考点六】的考查上： 利用函数有界性的定义； 利用【考点六】的结论，特别是【考点六】中的第二个结论； 收敛数列必为有界数列； 函数极限的局部有界性定理； 拉格朗日中值定理.【例9】函数在下列（ ）区间内有界。（A） （B） （C） （D）【考点七】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。（2）有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量.【评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。（2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。【例10】当时，变量是（ ）（A）无穷小。（B）无穷大。（C）有界的，但不是无穷小量。（D）无界的，但不是无穷大。四、函数的单调性设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”或“”改为“”），称函数在上严格单调增加（或严格单调减少）。设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，若对任一，有在a,b上单调增加（减少）。注意： 若将上面的不等式的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立。【考点八】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；（2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。【例11】设f(x)在内可导，且对任意，当时，都有，则（ ） （A） 对任意 （B）对任意 （C）函数单调增加 （D）函数单调增加 .【例12】设在内可导，单调增加，且。证明：在内也单调增加。五、分段函数与复合函数 在用公式法表示的函数中，若自变量与因变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达，即在函数定义域的不同部分用不同数学式子表示的函数，称为分段函数。 分段函数的定义域是各个部分自变量取值范围的总和或并集。设函数的定义域为，函数的值域为，若集合与的交集非空，称函数为函数与复合而成的复合函数，为中间变量。对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。 将两个或两个以上的函数特别是分段函数进行复合是考研中的基本题型。【考点九】求分段函数的复合函数的主要方法是：分段代入法。其核心是先代入，后解不等式。【解题程序】（1）代入：如果复合函数的外层函数是段分段函数，而内层函数是段分段函数，则将内层函数分段代入外层函数后，得到的复合函数为段的分段函数。（2）解不等式：分别解出个不等式构成的不等式组，把无解的不等式组去掉，即得所求的复合函数。【例13】已知（1）并写出它的定义域。（2）求.六、反函数设函数的值域为，定义域为，则对于每一个，必存在使。若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。但习惯上把反函数记作。 在同一直角坐标系下，函数与其反函数的图形是同一条曲线；而函数与其反函数的图形关于直线对称。【考点十】求反函数的程序：（1）由解出，得到关系式；（2）将与互换，即得所求函数的反函数。【例14】已知函数与的图形对称于直线，且 ，则七、初等函数 常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。 分段函数不一定是初等函数。绝对值函数很特殊，它既是初等函数，又可以写成分段函数的形式，常常可以构造一些选择题。【例15】下列函数中为初等函数的是（ ） （A） （B） （C）（D）.第二节 函数的极限【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。一、数列的极限1数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列称为数列的一般项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当nN时，恒有 ，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。2极限存在准则（1）定理1.1.4（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ， 则极限 存在，且等于A .注 对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。 （2）。 （3） 。【考点十一】(1) 单调有界数列必有极限.(2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限 为.【评注】（1）在应用【考点十一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。（2）判定数列的单调性主要有三种方法：I 计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。II 当时，计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。III 令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。【例1】设数列满足证明数列的极限存在并求极限 .【例2】设f(x)是区间上单调减少且非负的连续函数，证明数列的极限存在。【考点十二】（夹逼准则）设有正整数，当时，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。【例3】（北京大学，1999年）计算.【考点十三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有， .【例4】求下列极限： （1） （2）设函数，求极限.【考点十四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。【例5】设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算.二、函数的极限【考点十五】 也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点十五】判断双侧极限是否存在。【例6】当时，函数的极限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）为（D）不存在但不为【例7】确定常数的值，使极限存在。【考点十六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法： （1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限； （3）利用变量代换（通常是作倒代换，令） （4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。【记忆要点】常见的等价无穷小代换：（一）基本情形：当时，我们有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （12） （13）（二）差函数中常用的等价无穷小代换：当时，我们有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【例8】求极限【例9】已知，求.【例10】.【考点十七】求型未定式极限的方法： （1）分子、分母同时除以最大的无穷大 （2）使用洛必达（）法则【例11】求极限.【考点十八】化和型未定式为型和型的方法是： （1）通分法 （2）提因子法 （3）变量代换法【例12】求下列极限： 【考点十九】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式：。推导如下（为简便，略去自变量）：【例13】求极限 【考点二十】（1）已知 A，则有： 若g(x) 0，则f (x) 0； 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.（2）已知，若，则.【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十六】是主要的分析问题与解决问题的方法。【例14】设，则.【例15】试确定的值，使得 ，其中是当时比高阶的无穷小.【考点二十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用 无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设是同一过程下的两个无穷小，即。若若则称是比低阶的无穷小；若若则称与是等价无穷小。【例16】已知当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数和.【例17】设函数f(x)在 x=0的某邻域内有一阶连续导数，且，若af(h)+bf(2h)-f(0)在时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。第三节 函数的连续性【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。一、函数的连续性与间断点. 函数连续性概念定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。定义2 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且 ，则称函数在点处左（右）连续。显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。定义3 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。 . 函数的间断点及其分类 定义 函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（3）与都存在，但则称在点处不连续，或称为函数的间断点。 间断点的分类 设为函数的间断点，间断点的分类是以 点的左、右极限来划分的。 第一类间断点 若与都存在，则称为第一类间断点： （1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度； （2）若存在（即=），则称为可去间断点。此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。 第二类间断点 若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。【考点二十二】在由抽象函数构造的连续性选择题中，选择的次序应从最简单的函数开始，最简单的往往就是正确选项。【例1】设有定义，分别各有唯一的间断点，则必有间断点的函数是（ ）（A）fg(x) (B)f(x)g(x)(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)【例2】设内有定义，为连续函数，且有间断点，则（A）必有间断点。（B）必有间断点。（C）必有间断点。（D）必有间断点。【考点二十三】判断含有参变量的极限构成的函数的连续性，其关键是在求极限的过程中，正确区分哪一个是变量，哪一个是不变的量即参变量。【评注】在极限式中若含有参变量，因参变量取不同值时，其极限值不同，因此，要根据所给极限式，首先确定参变量应如何划分区间。然后根据参变量的不同取值范围，再求极限。、【例3】设，求并讨论其连续性及间断点的类型。【例4】设, 则的间断点为 .【考点二十四】在连续性的各种题型中，无论是确定函数（特别是分段函数）的间断点及其类型，还是利用连续性确定函数中的常数，解题方法的核心均为先求函数在一些特殊点（特别是无定义的点和分段函数的分段点）处的左右极限和，然后再根据间断点的定义与函数连续的充要条件求出相应结果。【例5】设函数处连续，则.【例6】设在（）内有定义，且， ， 则（ ）（A）必是的第一类间断点（B）必是的第二类间断点（C）必是的连续点（D）在点处的连续性与的取值有关。二、闭区间上连续函数的性质定理定理 1.（有界性定理） 闭区间a,b上的连续函数必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理) 闭区间a,b上的函数，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在两点，使得对a,b上的一切x，恒有 .此处与就是在a,b上最小值与最大值。定理 3.(介值定理) 设函数在闭区间a,b连续，m与M分别为在a,b上的最小值与最大值，则对于任一实数c(mc0)上连续，在（a,b）内可微，且f(a)=f(b)=1，证明：存在使得为正整数。【考点四十一】在拉格朗日中值公式和 其中 中，中值的唯一性要由导数的严格单调性来确定，中值的极限可由导数的定义或泰勒公式求得。【例7】设y=f(x)在（-1，1）内具有二阶连续导数，且，求证：（1）对于（-1，1）内任一点，存在唯一的成立。（2）【考点四十二】拉格朗日中值定理的应用十分广泛，可以将其与极限问题、函数有界性问题、单调性问题、不等式问题以及其他中值定理结合在一起构成综合题。用拉格朗日中值定理证明函数有界性问题时，经常结合如下考点，即极限的不等式的性质定理： （1）局部保号性：若极限=A0（或0(0)，也可能有A=0。（3）若=A，=B，且在的某空心邻域内恒有.【例8】设，为函数在区间上应用拉格朗日中值定理得到的中值，求极限 .【例9】设处处可导，则（ ）（A）当（B）当（C）当（D）当【考点四十三】（1）根据拉格朗日中值定理有如下结论： 若在某一区间内恒有，则在该区间内必为常数。 若两个函数与在（a,b）内满足，则在（a,b）内。其中C为某常数。 （2）证明在区间上等于一个常数的程序： 证明在区间上恒有，则 . 取一点代入等式，求出常数的值.【例10】设单调增加，存在连续函数，与互为反函数. 证明： .三、柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间a,b上连续，（2）开区间(a,b)内可导，（3），则在开区间（a,b）内至少存在一点，使得.【考点四十四】柯西中值公式的特点是：其左端分式中，分子、分母上下具有对称性，且区间端点坐标和相分离. 因此，用柯西中值定理证明等式时，寻找辅助函数的方法是：首先将结论进行变形，将含有的项移到等式的一边，其余含有和的项移到等式的另一边，并将这边的端点坐标和相分离，即可得到所需的辅助函数。【例11】设在上连续，在内可导，且.证明至少存在一点，使得 .【考点四十五】反复多次综合应用中值定理证明问题，特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理相结合的题型非常重要。（1）证明在内存在，满足某种关系式的命题的程序： 在欲证的等式中，将和分离开来，即把包含的函数和包含的函数分别放在等式的两端. 选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到，再对等式的另一端应用一次中值定理或介值定理得到.（2） 证明在内存在，且满足某种关系式的命题： 关键是通过零点定理、介值定理或其他条件，找出符合题意的分界点，将区间分成两个不相交的部分区间. 在和上分别应用中值定理进行证明即可.【例12】设函数在上连续，在内可导，且。试证存在，使得。【例13】已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得四、泰勒定理1 假设函数f(x)在含有的开区间（a,b）内具有直到n阶的导数，且 在（a,b）内连续，则有带有佩亚诺(Peano)余项的泰勒公式： ，当时.2假设函数f(x)在含有的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对于有带有拉格朗日型余项的泰勒公式： 其中之间的某个值。3当=0时，以上两公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式，即，其中 .【考点四十六】泰勒公式是沟通函数及其高阶导数之间的桥梁，是应用高阶导数的局部性质研究函数整体性态的重要工具。解题程序如下： （1）解题时，一旦决定应用泰勒公式，首先要选择一点，将函数f(x)在点处展开成泰勒公式。一般题设中会提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点，通常取为函数值为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中给出的其他特殊的点。 （2）然后将区间端点和分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相加或相减。如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，则继续取绝对值放大、缩小即可证明。【例14】设函数f(x)在-1，1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,证明在（-1，1）内至少存在一点第二节 导数的应用【大纲内容】函数的极值；函数单调性；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数最大值和最小值勤的求法及简单应用；弧微分；曲率的概念；曲率半径。【大纲要求】1. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 2会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐进线，会描绘函数的图形。 3了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。【考点分析】不等式的证明题在考研数学中占有十分重要的地位。而利用导数研究方程的根、函数的单调性与极值、凹凸性与拐点，则经常以填空、选择形式命题。渐进线和曲率要求记住相应的知识点与公式。一、不等式的证明【考点四十七】利用导数的符号和函数的单调性证明不等式的程序： .若不等式两端包含自变量，则用辅助函数法： （1）移项或先作恒等变形后再移项，使不等式一端为零，另一端即可作为所求的辅助函数； （2）求函数值为零的点，或计算区间端点的函数值或极限值；（3）求导数，并判断导数的符号，从而由的单调性证明欲证的不等式.（4）如果的符号难以确定，就继续求，由高阶导数的符号反过来进行分析，直到确定的正负号为止。 .若不等式两端均为常数且包含区间端点和，也用辅助函数法： （1）先将和中较大的数改写为，然后移项或先作恒等变形后再移项，使不等式一端为零，另一端即可作为所求的辅助函数； （2）求函数值为零的点，或计算区间端点的函数值或极限值；（3）求导数，并判断导数的符号，从而由的单调性证明欲证的不等式.（4）如果的符号难以确定，就继续求，由高阶导数的符号反过来进行分析，直到确定的正负号为止。 . 利用函数的最值证明不等式其实质仍然是，利用导数的符号和函数的单调性证明不等式，并且二者经常一起使用，以便简化证明。 . 重要结论：如果函数在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，则当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值. . 如果不等式中出现形如的项，则可以考虑先用拉格朗日中值定理进行证明，然后再用上述的辅助函数法和最值法进行证明不等式。【例1】设函数可导，且满足又单调减少。 证明：对任，有【例2】设，证明:（1）（2）【例3】设, 证明.【考点四十八】证明抽象函数的不等式时，若已知条件包含二阶以上的高阶导数，且函数的导数的正负号难以确定时，一般应用泰勒公式来证明不等式。解题程序请参考【考点四十六】.【例4】设f(x)0，1上具有二阶导数，且C是（0，1）内任一点，证明 .二、关于方程的根的求法方程的根的问题综合性很强，包括根的存在性、唯一性、计算根的个数及其所在的区间、两条曲线的交点的个数、参数的讨论等各种题型，在复习时，应该用相同的解法把不同的问题统一起来，以便于掌握，而不应分得过细导致无所适从。【考点四十九】解方程根的问题的主要方法是辅助函数法，将方程的根的问题转化为辅助函数的零点的问题。解题程序如下： （1） 移项或先作恒等变形后再移项，使方程的一端为零，另一端即可作为所求的辅助函数； （2）对求导，令，求出的可能极值点即驻点和不可导的点。用这些可能极值点将定义域划分为若干个部分子区间即单调子区间； （3）计算在每个单调子区间端点处的函数值，若端点处的函数值异号，则由零点定理知在该子区间上有且仅有一个零点；若端点处的函数值同号，该子区间上没有零点。 （4）重要结论：设函数在内严格单调且连续，若 或，且 或，则在内有且仅有一个零点。反之，若或，且或，则在内有且仅有一个零点。【例5】方程内有（ ）个实根。（A）0 （B）1 (C)2 (D)无穷多【例6】 设常数的零点的个数是（ ）（A）3 （B）2 (C)1 (D)0三、函数的极值及其求法 1极值的概念 设函数在的某邻域内有定义，若在该邻域内恒有，则称为函数的极大（小）值，叫极大（小）值点。极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点。极值是局部概念，是对内点而言的。 2极值的判别法（1）极值的必要条件 点是函数的极值点的必要条件是或 不存在，驻点与不可导点（统称可能极值点）不一定是极值点，必须用判别极值的充分条件加以判断。（2）判别极值的第一充分条件：设是的驻点或不可导的连续点，且在的某空心邻域内可导，若当从的左侧变到右侧时，的符号由“正”变“负”（或由“负”变“正”），则为极大值（或极小值）；若不变号，则不是极值。（3）判别极值的第二充分条件： 设，那么，若，则为极小值；若，则为极大值。3函数的最大值、最小值就所论区间而言，函数的一切值中，最大（小）的称为函数的最大（小）值。最大值与最小值是整体概念，是全局性的。（1）闭区间上连续函数 的最在（小）值的求法 求出导函数； 求出可能极值点，即驻点与不可导的点； 求出可能极值点处的函数值及与； 比较上述所有函数值，其中最大（小）的即为最大（小）值。显然，若在上单调递增（减），则是最小（大）值，是最大（小）值。 （2）对于在某区间内可导的函数，若在该区间内仅有唯一驻点，且取极大（小）值，则该极大（小）值即在此内的最大（小）值。在很多应用问题中经常出此情形。【评注】大纲要求会用导数的符号求函数的最值。由于有关最值的试题多出现于应用题之中，纯粹的最值计算题较少，因此为增强复习的针对性，在后面的章节将进行详细讨论。【考点五十】求函数极值的方法主要有三种：1 根据判别极值的第一充分条件；2 根据判别极值的第二充分条件；3 根据极值的定义.求函数极值的程序： 1求函数的定义域； 2求导数，并求出所有可能极值点，即导数等于零的点即驻点和导数不存在的点； 3根据判别极值的第一充分条件判别这些可能极值点是否为极值点； 4当可能极值点中仅有驻点，二阶导数好求，且二阶导数在驻点处皆不为零时，可选用判别极值的第二充分条件判定； 5当两种判别法失效时，则采用根据极值的定义进行判别。【例7】设。讨论f(0)是否为极值，是极大值还是极小值。【例8】设的导数在处连续，又，则 （A）是的极小值点。（B）是的极大值点。（C）是曲线的拐点。（D）不 是的极值点，也是不是曲线的拐点。 【例9】设函数由方程所确定，试求的驻点，并判别它是否为极值点。四、函数的凹凸性与拐点 1函数曲线凸凹性与拐点的概念：若在某区间内，曲线位于其上任