1112高中数学 1.3.3 函数的最值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 理解函数最值的概念及闭区间上函数存在最值的定理 2 掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小值的方法 本节重点 函数在闭区间上最值的概念与求法 本节难点 极值与最值的区别与联系 求最值的方法 极值与最值的区别和联系 1 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是函数在整个定义域上的情况 是对函数在整个定义域上的函数值的比较 2 函数的极值不一定是最值 需对极值和区间端点的函数值进行比较 或者考察函数在区间内的单调性 3 如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 4 可用函数的单调性求f x 在区间上的最值 若f x 在 a b 上单调递增 则f x 的最大值为f b 最小值为f a 若f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 上一定能取得 函数的必在或取得 但在开区间 a b 内可导的函数f x 有最大值与最小值 2 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 1 求f x 在开区间 a b 内的 2 计算函数f x 在各和处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 最大值与最 小值 最值 极值点 区间端点 不一定 极值 极值点 端点 最大 最小 例1 求函数f x x3 2x2 1在区间 1 2 上的最大值与最小值 分析 首先求f x 在 1 2 内的极值 然后将f x 的各极值与f 1 f 2 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 解析 f x 3x2 4x 点评 注意比较求函数最值与求函数极值的不同 求函数f x x3 3x2 6x 2在区间 1 1 上的最值 解析 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 1 因为f x 在 1 1 内恒大于0 所以f x 在 1 1 上是增函数 故当x 1时 y最小 12 当x 1时 y最大 2 即f x 的最大值为2 最小值为 12 例2 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 分析 由题目可获取以下主要信息 函数f x x2 x a 中含有参数a 在a确定的情况下 求切线方程 在a不确定的情况下求函数在区间 0 2 上的最大值 解答本题可先对函数求导 然后根据a的不同取值范围 讨论确定f x 在 0 2 上的最大值 解析 1 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 又当a 0时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 点评 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 解析 1 f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1 令f x 3 函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 令f x 0 x 2 2 x 1 当 2 x 1时 f x 0 当 1 x 2时 f x 0 x 1是函数f x 的极小值点 该极小值也就是函数f x 在 2 2 上的最小值 即f x min f 1 a 5 又函数f x 的区间端点值为f 2 8 12 18 a a 22 f 2 8 12 18 a a 2 a 22 a 2 f x max a 22 20 a 2 此时f x min a 5 7 例3 已知f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由 分析 由题目可获取以下主要信息 函数f x ax3 6ax2 b在x 1 2 上的最大值为3 最小值为 29 根据最大值 最小值确定a b的值 解答本题可先对f x 求导 确定f x 在 1 2 上的单调性及最值 再建立方程从而求得a b的值 解析 存在 显然a 0 f x 3ax2 12ax 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 1 当a 0时 x变化时 f x f x 变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取最大值 所以f 0 b 3 又f 2 3 16a f 1 3 7a f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取最小值 即f 2 3 16a 29 所以a 2 2 当af 1 所以当x 2时 f x 取最大值 即 16a 29 3 所以a 2 综上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 点评 已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一 由于参数会对函数的最值的取到点有影响 所以解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 设函数f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线x 6y 7 0垂直 导函数f x 的最小值为 12 1 求a b c的值 2 求函数f x 的单调递增区间 并求函数f x 在 1 3 上的最大值和最小值 解析 1 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 f x 3ax2 b的最小值为 12 又 a 0 b 12 因此f 1 3a b 6 解得a 2 故a 2 b 12 c 0 2 f x 2x3 12x 一 选择题1 若函数f x x4 2x2 3 则f x a 最大值为4 最小值为 4b 最大值为4 无最小值c 最小值为 4 无最大值d 既无最大值 也无最小值 答案 b 解析 f x 4x3 4x由f x 0得x 1或x 0易知f 1 f 1 4为极大值也是最大值 故应选b 2 已知f x 2x3 6x2 m m是常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 11 答案 a 解析 f x 6x2 12x 6 x2 2x 6x x 2 令f x 0 解得x 0或x 2 f 0 m f 2 8 m f 2 40 m f 0 f 2 f 2 m 3 最小值为f 2 37 故应选a 答案 b 二 填空题4 函数y x4 2x3在 2 3 上的最大值为 最小值为 5 若函数f x 在 a b 上满足f x 0 则f a 是函数的最 值 f b 是函数的最 值 答案 小大 解析 由f x 0 f x 在 a b 上是增函数 f a 是函数的最小值 f b 是函数的最大值 三 解答题6 求函数f x x4 2x2 3 x 3 2 的最大值和最小值 解析 解法1 f x x4 2x2 3 f x 4x3 4x 由f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 或x 0 或x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 有最小值 60 当x 1时 f x 有最大值4 解法2 f x x4 2x2 3 f x