1112高中数学 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 3离散型随机变量的均值与方差习题课 1 通过本节课进一步强化对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算 2 会直接利用公式求二点分布 二项分布等的均值和方差 3 理解均值和方差的作用 本节重点 离散型随机变量的均值和方差 特殊分布的均值和方差的求法 本节难点 离散型随机变量的均值和方差的应用 1 离散型随机变量的均值 方差都是数 它们没有随机性 它们是用来刻画随机现象的 离散型随机变量的分布列能够完全描述随机变量取值的概率规律 它完全描述了随机现象的规律 而均值 方差则反映了离散型变量的数字特征 2 随机变量的均值是常数 而样本的平均值是随机变量 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本均值越来越接近于总体均值 随机变量的方差是常数 样本方差是随机变量 要注意两者的区别与联系 3 求离散型随机变量x的均值 方差的方法与步骤 1 理解x的意义 写出x的可能取值 2 求x取每一个值的概率 3 写出随机变量x的分布列 4 由期望 方差的定义求e x d x 特别地 若随机变量服从两点分布或二项分布 可根据公式直接计算e x 和d x 例1 某运动员射击一次所得环数x的分布列如下表 现进行两次射击 以该运动员两次射击击中最高环数作为他的成绩 记为 1 求该运动员两次都命中7环的概率 2 求 的分布列 3 求 的均值e 分析 1 两次射击是相互独立的 2 m表示一次命中m环 另一次命中环数小于m 或两次都命中m环 3 用公式求解 解析 1 该运动员两次都命中7环的概率为p p 两次都命中7环 0 2 0 2 0 04 2 p m p 一次命中m环 另一次命中环数小于m p 两次命中m环 p 0 6 2 0 0 0 0 0 p 7 2 0 2 0 0 2 0 2 0 04 p 8 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 21 p 9 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 39 p 10 2 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 36 故 的分布列为 3 的均值为e 7 0 04 8 0 21 9 0 39 10 0 36 9 07 设篮球队a与b进行比赛 每场比赛均有一队胜 若有一队胜4场则比赛宣告结束 假定a b在每场比赛中获胜的概率都是 试求需要比赛场数的均值 解析 事件 x 4 表示a胜4场或b胜4场 即b负4场或a负4场 且两两互斥 事件 x 5 表示a在第5场中取胜且前4场胜3场 或b在第5场中取胜 且前4场中胜3场 这两者又是互斥的 所以 例2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 设随机变量x表示所选3人中女生的人数 1 求x的分布列 2 求x的均值 3 求 所选3人中女生人数x 1 的概率 分析 本题是超几何分布问题 可用超几何分布的概率公式求解 3 所选3人中女生人数x 1 的概率为p x 1 p x 0 p x 1 在8个乒乓球中有6个正品 2个次品 从中任取3个 求其中所含次品个数x的均值 解析 由题意 所含次品个数x为离散型随机变量 且x服从参数为n 8 m 3 n 2的超几何分布 它的可能取值为0 1 2 则x的分布列为 例3 2009 安徽 理17 某地有a b c d四人先后感染了甲型h1n1流感 其中只有a到过疫区 b肯定是受a感染的 对于c 因为难以断定他是受a还是受b感染的 于是假定他受a和受b感觉的概率都是 同样也假定d受a b和c感染的概率都是 在这种假定之下 b c d中直接受a感染的人数x就是一个随机变量 写出x的分布列 不要求写出计算过程 并求x的均值 即数学期望 分析 本题主要考查古典概型及其概率计算 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念 通过设置密切贴近现实生活的情境 考查概率思想的应用意识 某厂一批产品的合格率是98 检验单位从中有放回地随机抽取10件 计算 1 抽出的10件产品中平均有多少件正品 2 计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差 解析 用x表示抽得的正品数 由于是有放回地随机抽样 所以x服从二项分布b 10 0 98 1 利用二项分布的均值公式得到e x 10 0 98 9 8 平均有9 8件正品 2 x的方差d x 10 0 98 0 2 1 96 标准差 1 4件 例4 甲 乙两名射手各打了10发子弹 其中甲击中环数与次数如下表 乙射击的概率分布如下表 1 若甲 乙各打一枪 求击中18环的概率及p的值 2 比较甲 乙射击水平的优劣 分析 求甲 乙各打一枪击中18环的概率 相当于求甲 乙各射击一次所得环数之和为18的概率 要比较甲 乙射击水平的优劣 就是要求出它们的均值与方差 2 甲的均值为e x1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 10 0 4 8 4 乙的均值为e x2 7 0 2 8 0 3 9 0 4 10 0 1 8 4 甲的方差为d x1 5 8 4 2 0 1 6 8 4 2 0 1 7 8 4 2 0 1 8 8 4 2 0 1 9 8 4 2 0 2 10 8 4 2 0 4 3 04 乙的方差为d x2 7 8 4 2 0 2 8 8 4 2 0 3 9 8 4 2 0 4 10 8 4 2 0 1 0 84 所以d x1 d x2 乙比甲技术稳定 甲 乙两名工人加工同一种零件 两人每天加工的零件数相等 所得次品数分别为 和 的分布列如下表 试对这两名工人的技术水平进行比较 分析 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值 二是要看出次品数的波动情况 即方差值的大小 由e e 知 两人出次品的平均数相同 技术水平相当 但d d 可见乙的技术比较稳定 一 选择题1 设15000件产品中有1000件次品 从中抽取150件进行检查 则查得次品数x的均值为 a 15b 10c 20d 5 答案 b 答案 d 解析 因为x b 1 p 所以d x 1 p 1 p p 1 p 答案 a 二 填空题4 一个口袋中有6只球 编号为1 2 3 4 5 6 在袋中同时取出3只 则所取的3只球中的最大编号x的均值为 答案 5 25 拓展 求出随机变量的均值 数学期望 的关键在于写出它的分布列 再代入公式e x x1p1 x2p2 xnpn即可 5 设随机变量x服从二项分布 即x b n p 且e x 3 p 则n d x 三 解答题6 2010 浙江理 19 如图 一个小球从m处投入 通过管道自上而下落到a或b或c 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到a b c 则分别设为1 2 3等奖 1 已知获得1 2 3等奖的折扣率分别为50 70 90 记随机变量 为获得k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望e 2 若有3人次 投入1球为1人次 参加促销活动 记随机变量 为获得1等奖或2等