1112高中数学 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布同步学案 新人教A版必修3.ppt

2 2用样本估计总体2 2 1用样本的频率分布估计总体分布 自学导引 1 通过实例体会分布的意义和作用 2 在表示样本数据的过程中 学会列频率分布表 画频率分布直方图 频率折线图和茎叶图 3 通过实例体会频率分布直方图 频率分布表 频率折线图 茎叶图的各自特征 从而恰当地选择上述方法分析样本的分布 从而准确地做出总体估计 课前热身 1 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 一种是用 另一种是用 2 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来 或者用紧凑的表格改变数据的排列方式 作图可以达到两个目的 一是 二是 表格则是通过 为我们提供 的新方式 样本的频率分布估计总体的分布 样本的数字特征估计总体的数字特征 从数据中提取信息 利用图形传递信息 改变数据的构成形式 解释数据 3 在频率分布直方图中 纵轴表示 数据落在各小组内的频率用 表示 各小长方形的面积总和 4 连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得到频率分布折线图 随着 的增加 作图时所分的 在增加 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线 统计中称之为总体密度曲线 它能够更加精细的反映出 频率与组距的比值 小长方形的面积 等于 样本容量 组数 总体在各个范围内取值的百分比 5 当样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 它不但可以 而且 给数据的 和 都带来了方便 保留所有信息 可以随时记录 记录 表示 名师讲解 1 频率分布表 1 编制频率分布表的一般步骤 求极差 决定组数和组距 组距 分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 统计频数 计算频率 列出频率分布表 2 频率分布表在数量表示上比较确切 但不够直观 形象 分析数据分布的总体态势不太方便 2 频率分布直方图 1 作频率分布直方图的方法为 把横轴分出若干段 每一线段对应一组组距 然后以此线段为底作一矩形 它的高等于该组的频率 组距 这样得到了一系列的矩形 每个矩形的面积恰好是该组上的频率 这些矩形就构成了频率分布直方图 2 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据 非常直观地表明分布的形状 使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式 但是从直方图本身得不出原始数据内容 也就是说 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 3 频率分布折线图 1 如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来 就得到一条折线 这条折线为样本数据的频率分布折线图 如果将样本容量取得足够大 分组的组距足够小 则这条折线就趋近于一条曲线 这条曲线称为总体分布的密度曲线 2 频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势 4 茎叶图 1 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图 茎是指中间的一列数 叶是从茎的旁边生长出来的数 一般情况下茎按从小到大的顺序从上向下列出 其茎的叶一般按从大到小 或从小到大 的顺序同行列出 2 用茎叶图刻画数据有两个优点 一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到 二是茎叶图便于记录和表示 能够展示数据的分布情况 但当样本数据较多或数据位数较多时 茎叶图就显得不太方便了 典例剖析 题型一计算频率例1 一个容量为20的样本 分组后 组距与频数如下 10 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 4 60 70 2 则样本在 50 上的频率为 答案 d 变式训练1 已知样本7 10 14 8 7 12 11 10 8 10 13 10 8 11 8 9 12 9 13 12 那么这组数据落在8 5 11 5内的频率为 解析 样本总数为20个 数据落在8 5 11 5内的样本个数为8个 故频率为 0 4 题型二频率分布直方图的绘制例2 下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料 单位 cm 1 列出样本的频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 根据样本的频率分布图 估计身高小于134cm的人数约占总人数的百分比 分析 题目要求列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图 应注意到已知中虽未提供原始数据 但组距 组数及频数都已给出 同时题目要求将累计频率及累计频率分布图一并绘出 解 1 频率分布表如下 续表 2 频率分布直方图和累计频率分布如下图 3 由上图估计 身高小于134cm的学生数约占总数的19 误区警示 在画直方图时 易出现把直方图中的纵坐标做频率的错误 变式训练2 对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在400h以上的个数占总数的百分比 分析 由频率分布表 可算出电子元件寿命在100h 400h以内或在400h以上的频率 正确列出频率分布表是解决此类题目的关键 解 1 频率分布表如下 2 频率分布直方图如下图 题型三茎叶图例3 某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下 甲的得分 12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 乙的得分 8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51 1 画出甲 乙两名运动员得分数据的茎叶图 2 根据茎叶图分析甲 乙两运动员的水平 分析 按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图 然后分析 解 1 作出茎叶图如下所示 2 由上面的茎叶图可以看出 甲运动员的得分情况是大致对称的 中位数是36 乙运动员的得分情况除一个特殊得分外 也大致对称 中位数是26 因此甲运动员的发挥比较稳定 总体得分情况比乙运动员好 规律技巧 当数据较少时 用茎叶图分析问题的突出优点是 1 保留原始信息 2 随时记录 用茎叶图分析数据可以运用数据分布的对称情况 集中分散情况来分析总体情况 变式训练3 有关部门从甲 乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台 记录下一上午各自的销售情况 单位 元 甲 18 8 10 43 5 30 10 22 6 27 25 58 14 18 30 41 乙 22 31 32 42 20 27 48 23 38 43 12 34 18 10 34 23 1 请写出这两组数据的茎叶图 2 将这两组数据进行比较分析 你能得到什么结论 分析 由茎叶图可以直观地看出一组数据集中的趋势 解 1 2 甲城市一上午的销售情况比较稳定 乙城市一上午的销售额较高 题型四频率直方图的应用例4 为了解电视对生活的影响 一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10000人 并根据所得数据画出样本的频率分布直方图 如图 为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄 学历 职业等方面的关系 要从10000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查 则在 2 5 3 小时 时间段内应抽出的人数是 a 25b 30c 50d 75 解析 抽出的100人中平均每天看电视的时间在 2 5 3 小时 时间段内的频率是0 5 0 5 0 25 所以这10000人中平均每天看电视时间在 2 5 3 小时 时间段内的人数为10000 0 25 2500 又抽样比为故在 2 5 3 小时 时间段内应抽出人数为答案 a 变式训练4 2010 石家庄二模 为了了解高三学生的数学成绩 抽取了某班60名学生 将所得数据整理后 画出其频率分布直方图 如图所示 已知从左到右各长方形高的比为2 3 5 6 3 1 则该班学生数学成绩在 80 100 之间的学生人数是 a 32b 27c 24d 33 解析 由于所有矩形面积之和等于1 所以该班学生数学成绩在 80 100 之间的频率是故该班学生数学成绩在 80 100 之间的学生人数为答案 d 技能演练 基础强化1 在用样本频率估计总体分布的过程中 下列说法中正确的是 a 总体容量越大 估计越精确b 总体容量越小 估计越精确c 样本容量越大 估计越精确d 样本容量越小 估计越精确答案 c 2 下列叙述中正确的是 a 从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小b 频数是指落在各个小组内的数据c 每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率d 组数是样本平均数除以组距解析 由频率的意义知 选项c正确 答案 c 3 频率分布直方图中 小长方形的面积等于 a 相应各组的频数b 相应各组的频率c 组数d 组距解析 频率分布直方图中 小长方形的面积即小长方形的面积等于相应组的频率 答案 b 4 一个容量为n的样本 分成若干组 已知某组的频数和频率分别为40 0 125 则n的值为 a 640b 320c 240d 160答案 b 5 将容量为100的样本数据 按由小到大排列分成8个小组 如下表所示 第3组的频率和累积频率为 答案 a 6 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如下图所示 则时速在 50 60 的汽车大约有 辆 60 解析 由频率分布直方图知 时速在 50 60 的汽车大约有10 0 03 200 60辆 7 将一批数据分成5组列出频率分布表 其中第1组的频率是0 1 第4组与第5组的频率之和是0 3 那么第2组与第3组的频率之和是 解析 第2组与第3组频率之和为1 0 1 0 3 0 6 0 6 8 某化肥厂甲 乙两个车间包装肥料 在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品 称其重量 分别记录如下 甲 52 51 49 48 53 48 49乙 60 65 40 35 25 65 60 1 这种抽样方法是哪一种抽样方法 2 画出茎叶图 并说明哪个车间的产品比较稳定 解 1 该抽样方法为系统抽样法 2 茎叶如图所示 由图可以看出甲车间的产品重量较集中 而乙车间的产品重量较分散 所以甲车间的产品较稳定 能力提升9 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下 则在区间 4 5 上的数据的频数为 解析 由题知 在区间 4 5 上的频率为1 0 40 0 15 0 10 0 05 0 3 又样本容量为100 所以频数为100 0 3 30 答案 30 10 2009 海南高三四校联考 下面是某中学2008年高考各分数段的考生人数分布表 则分数在 700 800 的人数为 人 解析 由于在分数段 400 500 内的频数是90 频率是0 075 则该中学共有考生则在分数段 600 700 内的频数是1200 0 425 510 则分数在 700 800 内的频数 即人数为1200 5 90 499 510 8 88 88 品味高考11 2009 山东 某工厂对一批产品进行了抽样检测 下图是根据抽样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于100克的个数是36 则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 a 90b 75c 60d 45解析 由频率分布直方图知 产品净重小于100克的频率为 0 050 0 100 2 0 300 设样本容量为n 已知样本