高考数学一轮总复习名师精讲 第50讲排列、组合及其应用课件.ppt

第五十讲 第五十一讲 文 排列 组合及其应用 回归课本1 排列数与组合数公式及性质 2 解排列组合题的 16字方针 12个技巧 1 十六字 方针是解排列组合题的基本规律 即分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合 2 十二 个技巧是速解排列组合题的捷径 即 相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 多排问题单排法 定序问题缩倍法 定位问题优先法 有序分配问题分步法 多元问题分类法 交叉问题集合法 至少 或至多 问题间接法 选排问题先取后排法 局部与整体问题排除法 复杂问题转化法 点评 本考点所涉及的主要问题有 数字问题 人或物有条件排列问题 平面的个数问题 异面直线的对数问题 选代表或选物品的问题 集合的子集问题等 解决这些问题常用的数学方法有 直接法 利用分类计数原理的 分类法 利用分步计数原理的 分步法 一一列举所有可能的 穷举法 有条件限制的应用题中的 特殊元素分析法 及 特殊位置分析法 相邻问题 捆绑法 相间问题 插空法 定序问题 缩倍法 交叉问题 集合法 至多至少 排除法 未知问题 转化法 综合问题 先选后排法 及 图表法 等 3 解排列组合的应用题 要注意以下四点 1 仔细审题 判断是排列问题还是组合问题 要按元素的性质分类 按事件发生的过程进行分步 2 深入分析 周密考虑 注意分清是 乘 还是 加 既不少也不多 3 对限制条件较复杂的排列组合应用题 要周密分析 设计出合理的方案 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决 4 有关排列 组合混合问题 应遵循先选后排的原则 4 解排列 组合应用题的一般步骤 1 分析题意 认清应把问题中的哪些具体对象看作元素 如人 物 数 图形等 分析完成这件事需有几类办法 找到分类标准 做到不重不漏 执行各类办法时又分别需要进行几步才能完成事件 2 选定解法通常不含限制条件的排列 组合问题都可以直接求解 含有限制条件的排列 组合问题有直接法和间接法两种解法 其中分类法和排除法最为常用 但无论用直接法或间接法 都要注意从不同角度 正 反两方面考虑同一问题 复习中要注意一题多解的训练 3 列式求解 考点陪练1 2010 全国 将标号为1 2 3 4 5 6的6张卡片放入3个不同的信封中 若每个信封放2张 其中标号为1 2的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 a 12种b 18种c 36种d 54种解析 第一步 从3个信封中挑选1个信封放置标号为1 2的卡片 有c31种不同的放法 第二步 将标号为3 4 5 6的4张卡片放入另外2个信封中 每个信封放2个 有c42c22种不同的放法 由分步计数原理得 所求的不同的放法数n c31c42c22 18 种 答案 b 2 从6名志愿者中选出3名 分别承担a b c三项服务工作 但甲 乙二人不能承担b项工作 则不同的选法有 a 120种b 100种c 80种d 60种解析 当不含甲 乙时有a43种 当含甲 乙中一个时有c21 c42 c21 a22种 当含甲 乙时 有c41a22种 所以共有a43 c21c42c21a22 c41a22 80种 故选c 答案 c 3 设a是平面上形如 k k3 k 1 0 1 2 3 的点构成的集合 三点p m n是集合a中的元素 则以p m n为顶点可构成三角形的个数为 a 8b 7c 10d 9解析 五个点 1 1 0 0 1 1 2 8 3 27 中有三点 1 1 0 0 1 1 共线 那么可构成三角形的个数为c53 c33 9 个 答案 d 4 将a b c d e排成一列 要求a b c在排列中顺序为 a b c 或 c b a 可以不相邻 这样的排列数有多少种 a 12b 20c 40d 60解析 五个字母排成一列 先从中选三个位置给a b c且a b c有两种排法 即c53 2 然后按d e排在剩余两个位置上 有a22种排法 由分步乘法计数原理所求排列数为c53 2 a22 40 种 答案 c 5 12名同学合影 站成了前排4人后排8人 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的种数是 a c82a32b c82a66c c82a62d c82a52解析 从后排8人中选2人的方法有c82种 设此两人为a b 安排a到前排有a51种方法 再安排b到前排有a61种方法 共有c82a61a51 c82a62种方法 答案 c 典例1 1 解不等式a9x 6a6x 2 2 求证 an 1m anm manm 1 点评 注意运用排列数公式的阶乘形式进行变形论证 此题 2 还可构造排列应用模型论证 答案 1 9 2 5 6 7 8 9 10 11 类型二简单的排列应用题解题准备 1 解题的基本方法有特殊元素或特殊位置 通常先排特殊元素或特殊位置 称为 优先处理元素 位置 法 某些元素要求不相邻排列时 可先排其他元素 再将这些不相邻元素插入 空档 称为 插空法 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素作为一个整体元素 与其他元素排列后 再考虑整体内部的排序 称为 捆绑法 2 解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种思路 正向思考时 通过分步 分类设法将问题分解 逆向思考时 从集合的角度看 就是先从问题涉及的集合在全集中的补集入手 这常使问题简化 典例2 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 解析 1 解法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间4个位置上任选1个 有a41种站法 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有a55种站法 根据分步计数原理 共有站法a41 a55 480 种 解法二 由于甲不站两端 这两个位置只能从其余5个人中选2个人站 有a52种站法 然后中间4人有a44种站法 根据分步计数原理 共有站法a52 a44 480 种 解法三 若对甲没有限制条件共有a66种站法 甲在两端共有2a55种站法 从总数中减去这两种情况的排列数 即得所求的站法数 共有a66 2a55 480 种 2 解法一 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 有a55种站法 再把甲 乙进行全排列 有a22种站法 根据分步计数原理 共有a55 a22 240 种 站法 解法二 先把甲 乙以外的4个人作全排列 有a44种站法 再在5个空档中选出一个供甲 乙放入 有a51种方法 最后让甲 乙全排列 有a22种方法 共有a44 a51 a22 240 种 3 因为甲 乙不相邻 中间有隔档 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的4个人站队 有a44种 第二步再将甲 乙排在4人形成的5个空档 含两端 中 有a52种 故共有站法为a44 a52 480 种 也可用 间接法 6个人全排列有a66种站法 由 2 知甲 乙相邻有a55 a22 240种站法 所以不相邻的站法有a66 a55 a22 720 240 480 种 4 解法一 先将甲 乙以外的4个人作全排列 有a44种 然后将甲 乙按条件插入站队 有3a22种 故共有a44 3a22 144 种 站法 解法二 先从甲 乙以外的4个人中任选2人排在甲 乙之间的两个位置上 有a42种 然后把甲 乙及中间2人看作一个 大 元素与余下2人作全排列有a33种方法 最后对甲 乙进行排列 有a22种方法 故共有a42 a33 a22 144 种 站法 5 首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有a22种 再让其他4人在中间位置作全排列 有a44种 根据分步计数原理 共有a22 a44 48 种 站法 6 解法一 甲在左端的站法有a55种 乙在右端的站法有a55种 且甲在左端而乙在右端的站法有a44种 共有a66 2a55 a44 504 种 站法 解法二 以元素甲分类可分为两类 甲站右端有a55种 甲在中间4个位置之一 而乙不在右端有a41 a41 a44种 故共有a55 a41 a41 a44 504 种 站法 点评 排队问题是典型的排列问题带有限制条件的排列问题 一般都是对某个或某些元素加以限制的问题 被限制的元素通常称为特殊元素 被限制的位置称为特殊位置 这一类题通常从三种途径考虑 以元素为主考虑 这时 一般先解决特殊元素的排法问题 即先满足特殊元素 以位置为主考虑 这时 一般先解决特殊位置的排法问题 即先满足特殊位置 先不考虑限制条件 计算出排列总数 再减去不符合要求的排列数 1 用 捆绑法 解决元素相邻的问题 某几个元素必须相邻 先把它们看作一个元素 连同其余元素进行排列 注意相邻的元素本身也有顺序问题 2 用 插空法 解决元素不相邻的排列问题 先把不相邻元素拿走 把剩下的元素进行排列 再把不相邻的元素插在那些空中 3 一般地 n个人站成一排 其中某m个人相邻 可用 捆绑 法解决 共有an m 1n m 1 amm种排法 若n个人站成一排 其中m个人不相邻 可用 插空 法解决 共有an mn m an m 1m种排法 其中m小于或等于n m 1 探究2 7个人排成一排 按下列要求有多少种排法 1 其中甲不站排头 乙不站排尾 2 其中甲 乙 丙3人必须相邻 3 其中甲 乙 丙3人两两不相邻 4 其中甲 乙中间有且只有1人 5 其中甲 乙 丙按从左到右的顺序排列 解析 1 直接法如果甲站排尾 其余6人有a66种排法 如果甲站中间的5个位置的一个 而乙不站排尾 则有a51a51a55种排法 故共有排法a66 a51a51a55 3720 种 间接法7个人排成一排有a77种 其中甲排头有a66种 乙排尾有a66种 甲在排头且乙在排尾共有a55种 故共有排法a77 a66 a66 a55 3720 种 2 捆绑法将甲 乙 丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有a55种 然后甲 乙 丙内部再作全排列有a33种 故有不同的排法a55 a33 720 种 3 插空法先排甲 乙 丙外的4人有a44种 这四人之间及两端留出五个空位 然后把甲 乙 丙插入到五个空位中去有a53种 故共有a44a53 1440 种 排法 点评 对于第 1 小题 甲不站排头 那么甲站哪个位置呢 从正面考虑 进行分类 对甲不站排头 乙不站排尾 我们也可先考虑它的反面 甲站排头 或乙站排尾 采用 间接法 从两个不同的角度分析 类型三简单的组合应用题解题准备 组合的应用 1 无约束条件的组合 2 有约束条件的组合 掌握有限制条件的组合应用题的常用题法及常见类型 在解有限制条件的组合应用题时 要从分析入手 明确限制条件有哪些 所给元素分几类 识别是什么基本类型 一般方法还是直接法 间接法 典例3 课外活动小组共13人 其中男生8人 女生5人 并且男 女各指定一名队长 现从中选5人主持某种活动 依下列条件各有多少种选法 1 只有一名女生 2 两队长当选 3 至少有一名队长当选 4 至多有两名女生当选 5 既要有队长 又要有女生当选 分析 解组合问题常从特殊元素入手 解析 1 一名女生 四名男生 故共有c51 c84 350 种 2 将两队长作为一类 其他11人作为一类 故共有c22 c113 165 种 3 至少有一名队长含有两类 有一名队长和两名队长 故共有c21 c114 c22 c113 825 种 或采用间接法 c135 c115 825 种 4 至多有两名女生含有三类 有两名女生 只有一名女生 没有女生 故选法为c52 c83 c51 c84 c85 966 种 5 分两类 第一类女队长当选c124 第二类女队长不当选c41 c73 c42 c72 c43 c71 c44 故选法共有c124 c41 c73 c42 c72 c43 c71 c44 790 种 点评 解决 含与不含 问题常用优先法来求解 至多至少 问题 常采用直接分类法或间接排除法来求解 在选取元素时注意 搭配原则 一定要做到 不重不漏 探究3 已知平面 在 内有4个点 在 内有6个点 1 过这10个点中的3点作一平面 最多可作多少个不同平面 2 以这些点为顶点 最多可作多少个三棱锥 3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积 分析 用直接法求解 注意分类讨论 解析 1 所作出的平面有三类 内1点 内2点确定的平面 有c41 c62 个 内2点 内1点确定的平面 有c42 c61 个 本身 所作的平面最多有c41 c62 c42 c61 2 98 个 2 所作的三棱锥有三类 内1点 内3点确定的三棱锥 有c41 c63 个 内2点 内2点确定的三棱锥 有c42 c62 个 内3点 内1点确定的三棱锥 有c43 c61 个 最多可作出的三棱锥有 c41 c63 c42 c62 c43 c61 194 个 3 当等底面积 等高的情况下三棱锥体积才能相等 两个条件缺一不可 体积不相同的三棱锥最多有c63 c43 c62 c42 114 个 点评 解答组合应用题的总体思路为 1 整体分类 从集合的意义讲 分类要做到各类的并集等于全集 以保证分类的不遗漏 任何两类的交集等于空集 以保证分类的不重复 计算结果时使用分类计数原理 2 局部分步 整体分类以后 对每一类进行局部分步 分步要做到步骤连续 以保证分步的不遗漏 同时步骤要独立 以保证分步的不重复 计算每一步的相应结果时用分步计数原理 3 辩证地看待 元素 与 位置 排列 组合问题中的元素与位置 没有严格的界定标准 哪些事物看成元素或位置 要视具体情况而定 有时 元素选位置 问题解决的简捷 有时 位置选元素 效果会更好 类型四排列与组合的综合题型解题准备 解排列 组合的应用题 要注意四点 1 仔细审题 判断是组合问题还是排列问题 要按元素的性质分类 按事件发生的过程进行分步 2 以元素为主时 先满足特殊元素的要求 以位置为主时 先满足特殊位置的要求 先不考虑附加条件 计算出总数 再减去不符合要求的方法数 3 对于附有条件的比较复杂的排列 组合应用题 要周密分析 设计出合理的方案 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决 4 由于排列 组合问题的答案一般数目较大 不易直接验证 因此在检查结果时 应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备 有无重复或遗漏 也可采用多种不同的方法求解 看看是否相同 在对排列 组合问题分类时 分类标准应统一 否则易出现遗漏或重复 典例4 有6本不同的书 1 甲 乙 丙3人每人2本 有多少种不同的分法 2 分成3堆 每堆2本 有多少种不同的分堆方法 3 分成