《新高考全案》高考数学 75直线、平面垂直的判定与性质课件 人教版.pptVIP

1 直线与平面垂直 1 定义 与平面 内 称 记为 直线a 所有的直线垂直 直线a 垂直平面 a 3 直线和平面垂直的性质 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果一条直线垂直于一个平面 则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 如果一条直线与两个平面都垂直 那么这两个平面平行 2 二面角从一条直线ab出发的两个半平面 和 所组成的图形叫做二面角 记作二面角 ab ab叫做二面角的 两个半平面 和 叫做二面角的 二面角的平面角 在二面角的棱ab上任取一点o 过o分别在二面角的两个面 内作与棱垂直的射线om on 我们把 mon叫做二面角 ab 的平面角 用它来度量二面角的大小 平面角是直角的二面角叫做 棱 面 直二面角 3 平面与平面垂直 1 定义 平面 与平面 相交 如果 称 与 互相垂直 记为 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 3 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 所成的二面角是直二面角 4 证明空间垂直关系的常用思想方法 1 2011 广州一模 已知l m是不同的两条直线 是不重合的两个平面 则下列命题中为真命题的是 a 若l 则l b 若l 则l c 若l m m 则l d 若l m 则l m 答案 d 2 2009 广东 6 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 a 和 b 和 c 和 d 和 答案 d 3 2010 湖北 4 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 a b c d 答案 c 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若l 则l m且l n 但是如果l m且l n不一定有l m n必须相交 才能由l m且l n得到l a 答案 a 点评与警示 深刻理解线面垂直定义 线面垂直判定定理是解决本题关键 2009 苏州模拟 已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 答案 如下图所示 p q r分别为正方体abcd a1b1c1d1的棱ab bb1 bc的中点 求证 bd1 平面pqr 证明 连接bd ac ab1 a1b 四边形abcd是正方形 ac bd 又 p r分别是ab bc的中点 pr ac pr bd 又dd1 平面abcd pr 平面abcd dd1 pr 又bd和dd1是平面dbd1内的两条相交直线 pr 平面dbd1 bd1 平面dbd1 pr bd1 同理 pq 平面a1bd1 pq bd1 又pq和pr为平面prq内的两条相交直线 bd1 平面pqr 点评与警示 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 1 证明 平面sad 平面abcd 平面sad 平面abcd ad sm 平面sad sm ad sm 平面abcd bm 平面abcd sm bm 四边形abcd是直角梯形 ab cd am ab dm dc mab mdc都是等腰直角三角形 amb cmf 45 bmc 90 bm cm sm 平面smc cm 平面smc sm cm m bm 平面smc 2 解 三棱锥c sbm与三棱锥s cbm的体积相等 由 1 知sm 平面abcd 已知空间四边形abcd中 bc ac ad bd 引be cd e为垂足 作ah be于h 求证 ah 平面bcd 证明 如图所示 取ab中点f 连接cf df ae ac bc cf ab 又 ad bd df ab ab 平面cdf 而cd 面cdf cd ab 又cd be ab be b cd 平面abe 而ah 平面abe cd ah 又ah be be cd e ah 平面bcd 点评与警示 利用等腰三角形底边上的三线合一 中线 高 平分线 把定量关系 线段 角相等 转化为定性关系 垂直 是几何证明的基本技巧 直角三角形 abc所在平面外一点s 且sa sb sc d为斜边ac中点 1 求证 sd 面abc 2 若ab bc 求证 bd 面sac 证明 1 如图 取ab中点e 连接se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 故de bc 且de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab se ab de ab se de e ab 面sde 而sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac中点 sd ac sd ac sd ab ac ab a sd 面abc 2 若ab bc 则bd ac 由 1 可知 sd 面abc 而bd 面abc sd bd sd bd bd ac sd ac d bd 面sac 2008 广州二模 如图所示 在三棱锥p abc中 pa 平面abc ab bc ca 2 m为ab的中点 四点p a m c都在球o的球面上 1 证明 平面pab 平面pcm 2 证明 线段pc的中点为球o的球心 3 若球o的表面积为20 求二面角a pb c的平面角的余弦值 1 证明 ac bc m为ab的中点 cm ab pa 平面abc cm 平面abc pa cm ab pa a ab 平面pab pa 平面pab cm 平面pab cm 平面pcm 平面pab 平面pcm 2 证明 由 1 知cm 平面pab pm 平面pab cm pm pa 平面abc ac 平面abc pa ac 取pc的中点n 连接mn an 在rt pac中 点n为斜边pc的中点 an pn nc 在rt pmc中 点n为斜边pc的中点 mn pn nc pn nc an mn 点n是球o的球心 即线段pc的中点为球o的球心 点评与警示 证面面垂直可转化为证线面垂直 求二面角关键是找出其平面角 已知一个几何体的三视图如图所示 其中正视图和左视图均是腰长为2的等腰直角三角形 1 请画出几何体的直观图 并求出它的体积 2 求证 平面pbd 平面pac 3 求点c到平面pbd的距离 2 证明 因为pa 平面abcd 所以pa bd 又因为abcd是正方形 所以bd ac 又因为pa ac 平面pac且pa ac a 所