高三数学一轮复习 三角函数与三角形（第六节）课件 新人教B版.ppt

重点难点重点 正余弦定理及三角形面积公式 难点 在已知三角形的两边和其中一边的对角情况下解的讨论 由余弦定理可得 在 abc中 a2b2 c2 90 a 180 4 解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况 在 abc中 已知a b和a时解的情况如下 误区警示1 在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时 可能出现一解 两解或无解情况 应结合图形并根据 三角形中大边对大角 来判断解的情况 作出正确取舍 2 在判断三角形的形状时 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系 再用三角变换或代数式的恒等变形 如因式分解 配方等 求解 注意等式两边的公因式不要约掉 要移项提取公因式 否则会有漏掉一种形状的可能 一 判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状 主要有两条途径 1 化边为角 2 化角为边 具体有如下四种方法 通过正弦定理实施边角转换 通过余弦定理实施边角转换 通过三角变换找出角之间的关系 通过三角函数值符号的判断及正 余弦函数有界性的讨论 b2 c2 a2 0 a为锐角 b2 c2 a2 0 a为直角 b2 c2 a2 0 a为钝角 二 解题技巧在 abc中 给定a b的正弦或余弦值 则c的正弦或余弦有解 即存在 的充要条件是cosa cosb 0 简证如下 c有解 a b有解 0cos b cosa cosb cosa cosb 0 因此判断c是否有解 只须考虑cosa cosb的符号即可 了解这一结论 对做选择题或填空题来说 将十分方便 分析 已知两边和一边的对角 可能有两解 一解或无解 需讨论 a为锐角且a c 只有一解 答案 a 点评 1 已知两角和一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 2 已知两边和一边对角 解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论 这是易错的地方 也是常考查的地方 总结评述 解三角形时 找三边一角之间的关系 常用余弦定理 两边两角之间的关系常用正弦定理 答案 1 60 2 5 例3 在 abc中 a b c分别表示三个内角a b c的对边 如果 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 判断三角形的形状 分析 所给条件式中的sin a b 与sin a b 的展开式一加一减 a2与b2一加一减 故可展开合并后运用正余弦定理变形讨论 解析 已知等式可化为a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理得 sin2acosasinb sin2bcosbsina sinasinb sinacosa sinbcosb 0 sin2a sin2b 由0 2a 2 0 2b 2 得2a 2b或2a 2b 即 abc为等腰或直角三角形 点评 得到 式后也可用正余弦定理化角为边推证a b或a2 b2 c2 答案 1 等腰或直角三角形 2 等边三角形总结评述 根据已知条件 适当选取使用的定理 化边为角或化角为边 边角互化是解决这类问题的基本途径 答案 c 分析 所给条件式为角的关系 又均为 二次 式 故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解 2010 福建理 19 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 解法三 1 同解法一或解法二 2 设小艇与轮船在b处相遇 依据题意得