高三数学第一轮复习 第2编 13定积分与微积分基本定理课件 新人教B版.ppt

学案13定积分与微积分基本定理 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 返回目录 考纲解读 返回目录 考向预测 在高考中出现的题目应属于容易题 考查定积分的简单应用 如求曲线围成的面积 力做的功等 的可能性较大 返回目录 1 定积分的定义设函数y f x 定义在区间 a b 上 用分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b 分为n个小区间 其长度依次为 xi xi 1 xi i 0 1 2 n 1 记 为这些小区间长度的最大者 当 趋近于0时 所有的小区间长度都趋近于0 在每个小区间内任取一点 i 作和式in 当 0时 如果和式的极限存在 我们把和式in的极限叫作函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 lim 其中f x 叫作 a叫 b叫 f x dx叫作 2 定积分的几何意义设函数f x 在区间 a b 上连续 定积分在几何上表示界于x轴 曲线y f x 及直线x a x b之间各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取 在x轴下方的面积取 返回目录 0 被积函数 积分下限 积分上限 被积式 正号 负号 返回目录 3 定积分的性质1 定积分的线性性质 k为常数 2 定积分对区间的可加性 a b c 4 微积分基本定理设f x 在 a b 上连续 f x 是f x 的任意一个原函数 即f x f x 那么 这个公式也叫牛顿 莱布尼兹 newton leibniz 公式 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来 从而把求定积分的问题转化为求f x 的原函数的问题 f b f a 返回目录 考点1利用微积分定理求定积分 计算下列定积分 1 2010年高考湖南卷 dx 2 x x 1 dx 3 e2x dx 返回目录 分析 求出被积函数的原函数 用微积分基本定理进行求解 计算f x dx的关键是找到满足f x f x 的函数f x 其中f x 可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到 解析 1 dx lnx ln4 ln2 ln22 ln2 2ln2 ln2 ln2 2 x x 1 x2 x且 x3 x2 x2 x x x 1 dx x2 x dx x2dx xdx x3 x2 23 0 22 0 返回目录 3 lnx e2x e2x 2x 2e2x 得e2x e2x e2x dx e2xdx dx e2x lnx e4 e2 ln2 ln1 e4 e2 ln2 返回目录 计算一些简单的定积分 解题的步骤是 1 把被积函数变形为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分 3 分别用求导公式找到一个相应的原函数 4 利用微积分基本定理求出各个定积分的值 5 计算原始定积分的值 返回目录 求下列定积分 1 2x 3x2 dx 2 sin2dx 3 x dx 1 2x 3x2 dx 2xdx 3x2dx x2 x3 18 2 sin2dx dx dx cosxdx x sinx 返回目录 3 x dx xdx dx x2 lnx ln2 返回目录 返回目录 考点2分段函数的定积分 计算下列定积分 1 sinx dx 2 x2 1 dx 分析 对于第 1 小题 应对在区间 0 2 上的正 负进行分情况计算 而对于第 2 小题 在0 x 2的条件下 对x2 1的正 负情况进行讨论 解析 1 cosx sinx sinx dx sinx dx sinx dx sinxdx sinxdx cosx cosx cos cos0 cos2 cos 4 返回目录 2 0 x 2 x2 1 1 x 2 1 x2 0 x 1 x2 1 dx 1 x2 dx x2 1 dx x x3 x3 x 1 23 2 1 2 返回目录 x2 1 1 含绝对值的函数实际上就是分段函数 2 分段函数在区间 a b 上的定积分可分成几段定积分和的形式 分段的标准就是分段函数的标准 返回目录 x3x 0 1 x2x 1 2 2xx 2 3 在区间 0 3 上的积分 2 计算 dx 返回目录 1 求函数f x 1 由积分性质知f x dx f x dx f x dx f x dx x3dx x2dx 2xdx 返回目录 返回目录 2 当x 0 时 sinx cosx sinx cosx0 x sinx cosx x sinx cosx dx sinx cosx dx sinx cosx dx sinx cosx dx sinx cosx dx cosx sinx sinx cosx cos sin cos0 sin0 sin cos sin cos 1 1 2 2 2010年高考课标全国卷 设y f x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有0 f x 1 可以用随机模拟方法近似计算积分f x dx 先产生两组 每组n个 区间 0 1 上的均匀随机数x1 x2 xn和y1 y2 yn 由此得到n个点 xi yi i 1 2 n 再数出其中满足yi f xi i 1 2 n 的点数n1 那么由随机模拟方法可得积分f x dx的近似值为 返回目录 考点3利用定积分几何意义求定积分 且共有n个数对 即n个点 而满足yi f xi 的有n1个点 即在函数f x 的图象上及图象下方有n1个点 所以用几何概型的概率公式得 f x 在x 0到x 1上与x轴围成的面积为 1 即f x dx 解析 因为0 f x 1且由积分的定义知f x dx是由直线x 0 x 1及曲线y f x 与x轴围成的面积 又产生的随机数对在如图所示的正方形内 正方形的面积为1 返回目录 分析 利用定积分的几何意义解题 返回目录 本题考查了几何概型 定积分等知识 难度不大 但综合性较强 很好地考查了学生对积分等知识的理解和应用 题目比较新颖 返回目录 求定积分 令y 则 x 3 2 y2 25 y 0 表示由曲线y 在 2 3 上的一段与x轴和直线x 3所围成的面积 52 考点4定积分的应用 返回目录 2010年高考山东卷 由曲线y x2 y x3围成的封闭图形面积为 a b c d 分析 先求出y x2与y x3的交点 再由定积分的几何意义求面积 y x2y x3因此所求图形面积为s x2 x3 dx x3 x4 故应选a a 解析 由 得交点坐标为 0 0 1 1 返回目录 求抛物线y2 2x与直线y 4 x围成的平面图形的面积 y2 2xy 4 x解出抛物线和直线的交点为 2 2 及 8 4 解法一 选x作为积分变量 由图可看出s a1 a2 解析 由方程组 在a1部分 由于抛物线的上半支方程为y 下半支方程为y 所以 于是 s 18 返回目录 返回目录 解法二 选y作积分变量 将曲线方程写为x 及x 4 y s 30 12 18 返回目录 考点5定积分在物理中的应用 一辆汽车的速度 时间曲线如图所示 求此汽车在这1min内所行驶的路程 分析 由题意知 在t 0 10 和t 40 60 物体做匀变速直线运动 t 10 40 做匀速运动 v t 应为分段函数 应三段求积分 返回目录 解析 由速度 时间曲线易知 3t t 0 10 30 t 10 40 1 5t 90 t 40 60 由变速直线运动的路程公式可得答 此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m v t 返回目录 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时 将物理问题转化为数学问题是关键 变速直线运动的速度函数往往是分段函数 故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分 然后求出积分的和 即可得到答案 由于函数是分段函数 所以运算过程可能稍微复杂些 因此在运算过程中一定要细心 不要出现计算上的错误 返回目录 a b两站相距7 2km 一辆电车从a站开往b站 电车开出ts后到达途中c点 这一段速度为1 2t m s 到c点速度达24m s 从c点到b站前的d点以等速行驶 从d点开始刹车 经ts后 速度为 24 1 3t m s 在b点恰好停车 试求 1 a c间的距离 2 b d间的距离 3 电车从a站到b站所需的时间 返回目录 1 设a到c经过t1s 由1 2t1 24得t1 20 s 所以ac 240 m 2 设从d b经过t2s 由24 1 2t2 0得t2 20 s 所以db 240 m 3 cd 7200 2 240 6720 m 从c到d的时间为t3 280 s 于是所求时间为20 280 20 320 s 返回目录 1 被积函数若含有绝对值号应去绝对值号 再分段积分 2 若积分式子中有几个不同的参数 则必须先分清谁是被积变量 3 求曲边多边形的面积 其步骤为 1 画出草图 在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 2 借助图形确定被积函数 求出交点坐标 确定积分的上限 下限 3 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和 4 计算定积分