高三数学一轮复习 导数的实际应用课件 新人教B版.ppt

重点难点重点 利用导数解决实际问题中的优化问题难点 如何建立数学模型 借助导数求最值 知识归纳利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小 最大 小 者为最大 小 值 误区警示 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 生活中 经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 某工厂设计一个密闭容器 下部是圆柱体形 上部是半球形 容积为常数v 当圆柱的底半径r与高h为何值时 制造这个容器的用料最省 例2 某集团为了获得更大的利益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 5 1 若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 解析 1 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2百万元时 f t 取得最大值4百万元 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销 该公司由此获得的收益最大 例3 如图所示 有一块半椭圆形钢板 长半轴长为2r 短半轴长为r 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底ab是半椭圆的短轴 上底cd的端点在椭圆上 记cd 2x 梯形面积为s 1 求面积s关于自变量x的函数式 并写出其定义域 2 求面积s的最大值 已知矩形的两个顶点位于x轴上 另两个顶点位于抛物线y 4 x2在x轴上方的曲线上 则矩形的面积最大时 矩形的边长为 例4 苏南某城市在发展过程中 交通状况逐渐受到大家更多的关注 据有关统计数据显示 从上午6点到中午12点 车辆通过该市某一路段的用时y 分钟 与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出 分析 如图 设bc为海岸线 a为渔艇停泊处 设d为海岸线上一点 cd x 只需将时间t表示为x的函数 即可确定登岸的位置 答案 c 答案 c 理 2010 山东济南市模考 直线y kx b与曲线y x3 ax 1相切于点 2 3 则b的值为 a 3b 9c 15d 7 答案 c 解析 将点 2 3 分别代入曲线y x3 ax 1和直线y kx b 得a 3 2k b 3 又k y x 2 3x2 3 x 2 9 b 3 2k 3 18 15 故选c 答案 b 二 填空题4 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其它三边要砌新的墙壁 要使砌墙所用的材料最省 堆料场的长 宽应分别为 答案 16m8m 5 文 在周长为l的矩形中 面积的最大值为 理 面积为s的矩形中 其周长最小的矩形边长是 三 解答题6 已知某厂生产x件产品的成本为c 25000 200 x x2 元 1 要使平均成本最低 应生产多少件产品 2 若产品以每件500元售出 要使利润最大 应生产多少件产品 当在x 1000附近左侧时 y 0 故当x 1000时 y取得极小值 由于函数只有一个极小值点 那么函数在该点取得最小值 因此要使平均成本最低 应生产1000件产品 由于函数只有一个使l 0的点 且函数在该点有极大值 那么函数在该点取得最大值 因此 要使利润最大 应生产6000件产品 请同学们认真完成课后强化作业 答案 b 2 某商品一件的成本为30元 在某段时间内若以每件x元出售 可卖出 200 x 件 要使利润最大每件定价为 元 答案 85 3 已知函数f x x3 ax2 4在x 2处取得极值 若m n 1 1 则f m f n 的最小值是 答案 13 分析 由f x 在x 2处取得极值 可知f 2 0 于是可求得a的值 m 1 1 可利用f x 在 1 1 上的单调性求得f m 的最小值 由于y f x 是二次函数 故可利用二次函数的性质 求得f n 在 1 1 上的最小值 解析 求导得f x 3x2 2ax 由函数f x 在x 2处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 易知f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 当m 1 1 时 f m min f 0 4 又f x 3x2 6x的图象开口向下 且对称轴为x 1 当n 1 1 时 f n min f 1 9 故f m f n 的最小值为 13 点评 所求的结论 f m f n 的最小值 中的m n互不关联 故可分别求极值 再相加 如果问题是求f m f m 在m 1 1 上的最小值 就应先求出y f m f m 的表达式 再利用单调性求之 4 2010 东北三校二模 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 1 写出年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 5 2010 山东日照一中 如图 有一矩形钢板abcd缺损了一角 图中阴影部分 边缘线om上每一点到点d的距离都等于它到边ab的距离 工人师傅要将缺损的一角切割下来 使剩余部分成一个五边形 若ab 1