2012年广州市高三一模理科数学试题以及解答.doc

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科） 2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 方差，其中.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A B C0 D22已知全集，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则集合A B C D3如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A3 B6 C12 D244已知点（）是圆：内一点，直线的方程为，那么直线与圆的位置关系是A相离 B相切 C相交D不确定5已知函数，对于任意正数，是成立的A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角若， ，则的值为A B C8 D67在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为A B C D8从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为A252 B216 C72 D42图1俯视图22正(主)视图222侧(左)视图222二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 10已知，则实数的取值范围为 11已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 12已知集合，若，则实数的取值范围为 13两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则 ，若，则 图2512122POABCD图3（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点，弦过点，且，则的长为 15（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；（2）设，若，求的值17（本小题满分12分）图4甲组乙组897a357966如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同（1）求的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和均值（数学期望）（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明）18（本小题满分14分）图5如图5所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）证明为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值19（本小题满分14分）等比数列的各项均为正数，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和20（本小题满分14分）已知椭圆的左，右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围21（本小题满分14分）设函数(为自然对数的底数)，（）（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：（）数学（理科）试题A 第 4 页 共 4 页2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）一、选择题：题号12345678答案DBCABDCA二、填空题：9 10 113 12 1335，10 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（1）解： 4分（2）解：因为7分所以，即 因为， 由、解得9分因为，所以，10分所以 12分17（本小题满分12分）（1）解：依题意，得，解得.2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为.3分方差为.5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果6分这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：甲乙X87899696870299936433936433958611所以的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.8分由表可得，.所以随机变量的分布列为：012346810分9随机变量的数学期望为.12分18（本小题满分14分）（1）证明略（2）过点作平面的垂线，垂足为，连，则为直线与平面所成的角8分由（1）知，的面积9分因为，所以10分由（1）知为直角三角形，所以的面积11分因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，即，所以12分在中，因为，所以13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分19（本小题满分14分）（1）解： 的通项公式为（）7分（2）解：由（1），得8分所以10分所以故数列的前项和14分20（本小题满分14分）（1）解双曲线的方程为3分（2）设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分 所以8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以10分因为， 所以11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减 因为，所以当，即时，12分当，即时，13分所以的取值范围为14分21（本小题满分14分）（1）证明：设，所以1分当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，2分因为，所以对任意实数均有 即，所以3分（2）解：当时，4分用数学归纳法证明如下：当时，由（1）知假设当（）时，对任意均有，5分令，因为对任意的正实数， 由归纳假设知，6分即在上为增函数，亦即，因为，所以从而对任意，有即对任意，有这就是说，当时，对任意，也有由、知，当时，都有8分（3）先证对任意正整数，由（2）知，当时，对任意正整数，都有令，得所以9分再证对任意正整数，要证明上式，