污水处理问题的研究.doc

摘要随着社会的不断发展，排污问题备受关注，水资源密系民生，环保问题不容忽视。本文就工厂污水处理费用问题做了合理分析。针对问题一，为使江面上所有地段的水污染达到国家标准且花费最少，并结合污水排放浓度和江水的自净能力，得到此问题属于运筹学中在约束条件下求最优解的问题。基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，建立线性规划模型，最终利用求解结果为当三个处理厂排出的污水浓度分别为 ，时，得到最少费用为489.5万元。针对问题二，分别就居民点在处理站前、处理站后和处理站正对面进行分析。由江水稀释公式，可得处理费用与污水浓度之间的关系，求得以上三种情况的最小费用分别为：居民点在处理站前时，当处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的污水浓度依次为、和时，花费为183.3333万元；居民点在对应处理站后不远处或正对面为489.5万元。针对问题三，求总费用最少可等价于求网路铺设后最短管长，其中江中管道长度按四倍算其等效长度。先假设只有一个污水处理厂，在平面上找一点，使其与其它六点构成的最小生成树，并求其等效长度，找出其中等效长度最小的点即为所求。算得最小费用为273.7545万元。按上述方法计算两个污水处理厂时的情况，求得最小费用为311.0369万元。由于三个以上处理厂费用已经高于建立一个处理厂费用，于是不可取。于是污水处理厂个数为1，位置为居民点1与工厂1连线与江岸的交点，最小费用为273.7545万元。新城为该管道铺设区的任意位置。针对问题四，考虑到污水排放量的大小，因此将污水处理厂的位置建设在工厂区一岸，新城区的选取位置在工厂区一附近，其污水排放到工厂区一。考虑到污水汇合的情况，首先建立只有一个污水交汇点的情况，再增加污水交汇点，逐步对模型一进行优化，最后再在河岸两边增加两点，优化管道过河的费用，最终得到污水交汇点的个数为5个的时候所用的建设费用最少，此时费用为：148.6025万元。 关键词：运筹学 线性规划 最优解 最小生成树 自净能力一 、问题重述1.1 问题背景上游江水流量为，污水浓度为，3个工厂的污水流量均为，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50，处理系数均为，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过。1.2具体问题 （1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用？（3）为了扩展城市发展空间，改善环境，计划在江水的上游建一个10万人口的新城，并对工厂废水及所有居民的生活污水用管线连接起来进行统一处理，已知建一个污水处理厂的成本为120万元，在江岸两边建管线的费用为，跨江管线费用为普通的4倍,居民点1,2,3的污水流量均为，污水浓度（从上游到下游排列）分别为25，6，4，新城的污水流量控制在以内，且污水浓度不超过，处理系数均为请根据以上条件，确定新城的位置及污水处理厂的个数和位置。使在符合国家标准规定的条件下总的费用最小。（4）在实际的施工过程中，仅用一种规格的污水采集管是不够的，如在采集管汇合后，要采用更大口径的管道。市面上有以下几种污水采集管，并根据所给表中数据，重新确定新城及污水处理厂的位置，使总的费用最小，并给出管道铺设方案。二、问题分析通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，那么江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准。2.1 问题一的分析针对问题一，为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的解也就是说对于工厂1，2,3所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度达到国家标准。此问题属于在约束条件下求最优解的问题，我们只需要将满足经处理站处理后的污水达到国家规定的污水浓度，并且以工厂处理费用为目标函数，求其最小值即可。2.2 问题二的分析针对问题二，题目没有明确指明居民点的位置，只是说明在处理站对面是居民点，所以居民区可以有多种排法，它们可以在对应处理站前，也可在对应处理站后，或正对面，因此这里只假设对应居民区与处理站前后相距不远。因此可分为三种情况考虑。一是当居民点在对应处理站前，二是当居民点在对应处理站后时，三是居民点在对应处理站的正对面的情况。2.3 问题三的分析针对问题三，为使水污染达到国家标准且费用最少，对于污水处理厂的个数以及新城位置的确定，可通过设三个工厂和三个居民点为六个污水排放点，求解出连接六个污水排放点以及污水处理厂的最短距离，然后进行计算所需费用即可。2.4 问题四的分析对于问题四，考虑进实际的施工条件，污水采集管需要使用不同的规格，使所花费用为最少的情况，其实就是要找到所有污水排放点距离污水处理厂最近的情况，再结合各个污水排放点的污水流量选择相应合适规格的污水采集管，从而计算所花费用。对于新城位置的确定，为使花费最少，新城应离处理厂越近越好。三、模型假设 1. 假设长江的水流量固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。2. 假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。3. 假设居民区不产生污水。4. 假设江水的自净作用对所有污水都有效。5. 假设污水在进入长江之后是分布均匀的。6. 假设在对进行污水处理时，不改变污水流量，只改变污水浓度。7. 假设管道的的最大流量大于等于。8. 假设任意居民点与任意工厂之间都可以铺设直线管道。9. 假设任意河段可以修直线管道。10. 假设任一点可以建设污水处理厂且其处理污水的能力大于。11. 假设居民区上游任一点可以建设新城。四、符号说明符号含义总的污水处理费用工厂的处理系数工厂处理前的污水浓度工厂处理后的污水浓度工厂的污水流量工厂所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度长江上游的江水流量长江上游的江水浓度工厂1,2之间两段江面的自净系数工厂2，3之间两段江面的自净系数工厂1污水处理费用工厂1，2污水处理费用之和等效管长（江中管道长度按普通管道长度的4倍计算）污水处理厂到江边的距离江岸两边建管线的单位费用建污水处理厂的费用污水排放点污水处理厂污水排放点到污水排放点的距离污水排放点到污水处理厂的距离相应规格管道单价五、模型建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解 工厂的花费受污水浓度与国家污水浓度规定浓度限制，因此，为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准且使花费最少，可用线性规划模型来解决此问题，建立以工厂处理费用为目标函数，如下： （1）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。考虑到长江上游污水浓度达到国家标准以及江水的自净能力特性，此题的约束条件为处理厂和江水自净功能的共同作用下使得工厂江水的浓度达到国家规定的污水浓度，因此有以下约束条件： 其中，为长江上游的江水流量；为工厂的污水流量；为长江上游的江水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂之间两段江面的自净系数。利用代入数据求解得到，当，万元。所以要使江面所有地段污水浓度均达到国家标准，所花最小费用为489.5万元。5.2 问题二模型的建立与求解 因为题目没有明确指明居民点的位置，所以居民区可以有多种分布，它们可以在对应处理站前，也可在对应处理站后，或正对面，因此这里只假设对应居民区与处理站前后相距不远。则可分为三种情况考虑。具体如下：当居民点在对应处理站前时，如下图所示：工厂1工厂3居民区1居民区3江水开始自净江水完成自净自净区域1工厂2居民区2自净区域2江水开始自净江水完成自净图1 居民点在对应处理站前的分布图建立目标函数为： （2）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。其约束条件为： 然后利用代入数值计算得到，当处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的污水浓度依次为、和时，工厂1花费183.3333万元，工厂2不用处理污水，工厂3也不用处理污水。 所以如果只要求三个居民点上游（居民点在对应处理站前不远处）的水污染达到国家标准，最少需要花费为183.333万元。当居民点在对应处理站后时，目标函数为： （3）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。约束条件为： 这样为使居民点上游（居民点在对应处理站后不远处）的水污染达到国家标准，则工厂就要在污水流到江水以前把污水处理得符合国家标准，那么就与问题（1）相同。同理居民点在对应处理站的正对面的情况下，也是与问题（1）相同。 5.3 问题三模型的建立与求解为使水污染达到国家标准且费用最少，对于污水处理厂的个数的确定以及新城位置的确定，可通过设三个工厂和三个居民点为六个污水排放点，以居民点1建立坐标系，如图1所示。若要求解连接六个污水排放点以及污水处理厂的最短线路，求总费用最少，给出如下目标函数： （4)其中，为等效管长（江中管道长度按普通管道长度的4倍计算）；为污水处理厂到江边的距离；为江岸两边建管线的单位费用；为建污水处理厂的费用。 由于污水处理厂个数及位置未知，先假设只有一个污水处理厂，在平面上找一点，使其与其它六点构成最小生成树，并求其等效长度，找出其中等效长度最小的点即为所求。有如下约束条件： 其中，为污水排放点；为污水处理厂；为污水排放点到污水排放点的距离；为污水排放点到污水处理厂的距离。 （5）其中，为污水排放点到污水排放点的距离。由计算得到表1所示结果：表1 污水排放点之间的距离计算结果统计表工厂1工厂2工厂3居民点1居民点2居民点3工厂105.09911.810613.216.969628.309工厂25.09906.818417.211514.619.3852工厂311.81066.8184027.438519.394413.5居民点113.217.211527.438505.01611.8017居民点216.969614.619.39445.01606.8264居民点328.30919.385213.511.80176.82640 （6）其中，为污水排放点到污水处理厂的距离。经过污水处理厂处理后达到国家标准的水，最终需要通过管道排放到江内，则处理厂到江岸的距离有两种情况，如下公式： （7）其中，为污水处理厂到江岸的距离；为处理厂纵坐标；为江岸线的纵坐标。在平面中搜索该点，由得到管道铺设及处理站位置，如下图所示： 图2 建立单个污水处理厂的分布格局图由图2可以直观地看出，当建立一个污水处理厂时可使连接六个污水排放点以及污水处理厂的线路分布情况，红色点即为污水处理厂的位置。由式（7）、式（8）并结合所给数据计算得到当等效管长为时，使水污染达到国家标准的最少费用为273.7545万元。建立两个污水处理厂时：即在居民区建立一个污水处理厂，在工厂区建立一个污水处理厂，建立方法是分别在该区域找出一点到其余点的距离最小。记为居民点，为工厂，居民区污水处理厂为，工厂区污水处理厂为，总等效管长为，则建立模型： （8）其中， 最后，结合以上公式代入数值进行计算得，,费用为311.0369万元，居民区污水处理厂位置为(6.0000,1.0847)，工厂区污水处理厂位置为(6.0000,7.5119)。在平面中搜索建立污水处理厂的两个点得到其分布情况，如图3所示：图3 建立两个污水处理厂的分布格局图由图3可以得到两个污水处理厂的大致分布情况，其分别分布在居民区和工厂区，幷与工厂2、居民点2大致连成一线。5.4 问题四模型的建立与求解 该问题在问题三基础上提出，故知污水处理厂个数为一个。本模型为污水处理厂位置和管道铺设作分析。综合考虑实际的施工条件、各个污水排放点的污水流量大小、汇合点的污水流量大小，合理选择相应合适规格的采集管，并找到污水排放点距离污水处理厂最近的位置，从而计算所花费用。将污水处理厂与管道接头均称作交汇点：由于受到污水流量的限制，所选管道根据实际情况作变化。本模型从以下情况作分析：首先考虑所有点与污水处理厂直接用管道相连，其费用： （9）其中，为等效管长；为相应规格管道单价；为污水处理厂到江边的距离；为江岸两边建管线的单位费用；为建污水处理厂的费用。由表中管道规格中，选择满足条件的管道。最终算出其最小费用为：359.756万元。污水处理厂（6.0921，6.3439）。 然后在上述条件下加入一个交汇点记为。该点在工厂区或者居民区，使得区中三点先交汇到该点，再一起汇入处理厂，于是分两种情况作讨论。其目标函数： （10）式中为到的距离，为到所需管道费用。污水处理厂位置（5.9244，4.3394），居民区交汇点（5.9357，1.5676），求得其最小费用为：273.7028万元。 在上述条件之下，在厂区再取一交汇点记为，使工厂区污水汇入该点，然后再流入污水处理厂。其目标函数： （11）式中为到的距离，为到所需管道费用，污水处理厂位置（6.6274，4.3007）居民区上交汇点（6.2151,1.3877），工厂区上交汇点（6.2006 6.2722）求得其最小费用为：272.8694万元。 在上述情况下，再加入一个交汇点，即在区中求两点使得区中各点到两点之中距离较短的一点作管道，然后两点之间作管道，最终流入污水处理厂，使其费用最低。其目标函数： （12）式中表示、中任意一点，表示、中任意一点，表路程，表费用。污水处理厂位置（6.5334，4.4357），居民点1,2的交汇点（5.4853，1.1779），居民点1,2,3的交汇点（6.6397，2.0000），工厂区1,2的交汇点（ 6.0658，6.7412）。最少费用为271. 8127万元。 在上述条件下，像工厂区中再加入一交汇点，在工厂区中求两点使得区中各点到两点之中距离较短的一点作管道，然后两点之间作管道，最终流入污水处理厂，使其费用最低。其目标函数： （13）式中表示、中任意一点，表示、中任意一点，表路程，表费用。代入数值计算，污水处理厂位置为（7.0714，3.3000），居民区1与居民区2交汇点（ 6.0000，0.6），居民区3与居民区1,2交汇点（8.1036，2.0000 ），工厂区3与工厂区1,2交汇点（8.0446，4.7460） ，工厂1与工厂2交汇（5.7993，7.1789），由于污水处理厂与交汇点几乎垂直于河道，因此不需要优化，其最小费用为：268.6025万元。由以上分析得到，在平面中搜索污水处理厂点的位置，得到污水处理厂及管道铺设分布情况，如图4所示：图4 污水处理厂及管道铺设分布图由图4可知，污水处理厂建立在工厂区域与长江岸线相接的位置，其中连接工厂、居民点、四个汇合点和污水处理厂的路线即为最优管道铺设方案，得到所用花费最少。管道铺设方案：居民点1到居民点2用种型号的管道铺设，居民2到交汇点用型号管道铺设，居民点3到用型号管道铺设，交汇点到污水处理厂用型号管道铺设，工厂1到交汇点用管道铺设，工厂2到交汇点用型管道铺设，交汇点到交汇点用管道铺设，工厂3到交汇点用管道铺设，交汇点到污水处理厂用管道铺设。由以上情况可知，交汇点把所有可能的管道铺设情况包含在内，于是可知，在最后一种情况得到最优解，最小花费为268.6025万元。六、模型评价与推广6.1 模型评价：模型优点：（1） 建立的线性规划模型简单易懂，原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优，对于不是很复杂的问题可以比较准确地计算。（2） 该模型将现实中的污水处理问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便，有利于对相似问题进行求解和对模型进行扩充，比如工厂的流水作业问题，物品运输问题，空气污染净化等问题的建模求解。（3） 此问题所建立的模型是从一般问题到特殊问题的过渡，所用的数学方法为线性规划，易于用多种数学软件编程求解，例如，等。模型缺点：（1）该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离，比如这三个污水厂排出的污水流量相等，实际中居民点是一个面，再此模型中将其看做了一个点来进行处理。（2）模型只从费用单方面考虑，忽略了处理厂与江水流量变化等的实际问题，使得模型的建立偏离一定实际，从而计算结果不太准确。 6.2 模型推广： 通过对题目的解读，不难发现这是一类线性规划最优解问题。我们建立了一个效益的线性规划模型，此类模型可以做到费用最低、最经济的情况，可以在现实中解决诸多效益问题。线性规划最优解是运筹学的一个重要分支。它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。本文模型的建立是为了解决污水处理的费用最少问题，决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。本题的求解是一个典型的线性规划最优解问题，该模型的使用范围非常广泛，规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。七、参考文献1王晓银，周保平，数学建模与数学实验,北京：科学出版社，2012.2刘竞，王静，通过数学建模解决污水处理问题，石家庄职业技术学院学报 ,第23卷第2期：74-75.3谢金星，薛毅，优化建模与/软件，北京：清华大学出版社，2005.4 齐微，曲线拟合的MATLAB 实现和优化度检验，123000：1-6，2012。5司守荃孙玺箐，数学建模算法与应用，北京，国防工业出版社，2011。6肖华勇，数学建模竞赛优秀论文精选与点评，西安，西北工业大学出版社，2011。八、附件8.1 问题一的程序：min=z1+z2+z3;c12*5-1005*c1+800=0;c1*904.5+5*c22-1010*c2=0;c2*606+5*c32-1015*c3=0;c1=1;c2=1;c3=0;z2=0;z3=0;end 8.2 建立单个污水处理厂的程序：建立函数dd.mfunction results=dd(a,b) k=(a(1)-b(1)2+(a(2)-b(2)2)(1/2); results=k;endccline(0,15,2,2,Linewidth,2,Color,r)hold online(0,15,4.3,4.3,Linewidth,2,Color,r)hold onx=1,6,12.8,1,6,12.8;y=7.3,8.3,7.8,1,0.6,1.2;plot(x,y,.,Markersize,20,color,b);str=char(P1,P2,P3,P4,P5,P6);a=x;y;for i=1:6 aa,b=ginput(1); hold on text(aa,b,str(i)% hold onendgrid on%已知点之间的距离for i=1:6 for j=1:6 if j=i %y=ff(a(:,i),a(:,j); p=a(2,i); q=a(2,j); if (p4.3&q4.3)|(p2&q2) dddd(i,j)=dd(a(:,i),a(:,j); else a1=a(:,i);a2=a(:,j); k = (a1(2)-a2(2)/(a1(1)-a2(1); b = a1(2) - k*a1(1); xx1f=solve(k*x+b-2=0);xx1=eval(xx1f); xx2f=solve(k*x+b-4.3=0);xx2=eval(xx2f); yy1=2;yy2=4.3; xxx1=xx1,yy1; xxx2=xx2,yy2; ddd(i)=dd(xxx1,xxx2); d1(i)=dd(a(:,i),a(:,j); dddd(i,j)=3*ddd(i)+d1(i); if abs(j-i)=3 dddd(i,j)=d1(i)+3*2.3; end end end dddd(j,i)=dddd(i,j); endendddddpause;%污水站与各点之间直接距离x0=1:0.5:12.8;y00=0.6:0.5:2;y11=4.3:0.5:8.3;y0=y00,y11;for k=1:length(x0) for r=1:length(y0) if y0(r)=2 gg=2-y0(r); else gg=y0(r)-4.3; end a0=x0(k);y0(r); for i=1:6 a1=a(:,i); % y=ff(a(:,i),a0); if a0(1)=a1(1) kk = (a1(2)-a0(2)/(a1(1)-a0(1); b = a1(2) - kk*a1(1); %y=k*x+b xx11f=solve(kk*x+b-2=0);xx11=eval(xx11f); xx22f=solve(kk*x+b-4.3=0);xx22=eval(xx22f); if (xx1112.8)|(xx2212.8) dis(i)=dd(a(:,i),a0); %pause else yy11=2;yy22=4.3; xxx11=xx11,yy11; xxx22=xx22,yy22; ddis=dd(xxx11,xxx22); dis1(i)=dd(a(:,i),a0); dis(i)=3*ddis+dis1(i); end else e=a1(2); ee=a0(2); if (e4.3&ee4.3)|(e2&eedddd(i,j) aaa(i)=dddd(i,j); else aaa(i)=aaa(i); end if aaa(i)=dddd(i,j) dddd(j,i)=100; else dddd(j,i)=dddd(j,i); end else if i1 aaa(i)=aaa(i-1); else aaa(i)=100; end end if aaa(i)dis(i) aaa(i)=dis(i); else aaa(i)=aaa(i); end end end aaa yy(k,r)=sum(aaa)+gg;