高三数学总复习导与练 第八篇第七节配套课件（教师用） 理.ppt

第7节空间向量及其运算 4 掌握向量的长度公式 两向量夹角公式 空间两点间的距离公式 并会解决简单的立体几何问题 对应学生用书第109 110页 1 空间向量的概念 2 空间向量的线性运算 1 空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广 设a b是空间任意两向量 若oa ac a ab b p oc 则ob oa ab a b bc ac ab a b op a r 2 向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 数乘分配律 a b a b r 数乘结合律 a a r r 3 空间向量中的有关定理 质疑探究 1 对实数a b 若ab 0一定有a 0或b 0 而对向量a b 若a b 0也一定有a 0或b 0吗 2 对实数a b c 有 ab c a bc 而对向量a b c 也有 a b c a b c 成立吗 提示 1 不一定 因为当a 0 b 0 且a b时 也有a b 0 2 一般地 a b c a b c 这是因为 a b c与c共线 a b c 与a共线 若a与c不共线 则 a b c与a b c 就不共线 更不可能相等 1 下列命题是真命题的是 d a 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线 则这两个向量是不共面向量 b 若 a b 则a b的长度相等而方向相同或相反 c 若向量ab cd 满足 ab cd 且ab 与cd 同向 则ab cd d 若两个非零向量ab 与cd 满足ab cd 0 则ab cd 解析 空间任意两个向量都是共面向量 故a假 若 a b 则a与b的模相等 方向不确定 故b假 两个向量不能比较大小 故c假 ab cd 0 ab cd ab cd 故d真 4 a 1 0 1 b 4 4 6 c 2 2 3 d 10 14 17 这四个点是否共面 填 共面 或 不共面 对应学生用书第110 111页 空间向量的线性运算 例1 如图所示 在平行六面体abcda1b1c1d1中 设aa1 a ab b ad c m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 1 ap 2 a1n 3 mp nc1 用已知不共面的向量表示某一向量时 应结合图形 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 然后利用三角形法则或平行四边形法则 把所求向量用已知向量表示出来 共线向量定理与共面向量定理的应用 例2 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 bd 平面efgh 2 求证 e f g h四点共面 3 设m是eg和fh的交点 求证 对空间任一点o 有om oa ob oc od 应用共线向量定理 共面向量定理证明点共线 点共面的方法比较 变式探究21 设a b c及a1 b1 c1分别是异面直线l1 l2上的三点 而m n p q分别是线段aa1 ba1 bb1 cc1的中点 空间向量的数量积及应用 例3 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab和cd成60 角 如图 求b d间的距离 思路点拨 转化为求向量bd 的模 在封闭图形中用向量表示出bd 运用求模的公式求b d间的距离 求向量m和n所成的角 首先应选择合适的基底 将目标向量m和n用该组基底表示出来 再求他们的数量积及自身长度 最后利用公式cos m n 求得 在向量性质中 a 2 a a是向量与实数相互转化的工具 运用此公式 可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题 运用数量积的定义及性质可以解决立体几何中求异面直线所成的角 求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直 线面垂直等问题 空间向量的坐标运算 例4 2010年宁波模拟 如图所示 在四棱锥pabcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 ae cd 2 pd 平面abe 思路点拨 建立空间直角坐标系 计算ae cd 判断是否ae cd 要证pd 平面abe 只要证pd垂直于平面abe内两条相交直线即可 例题 如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 错源 对空间向量的坐标表示理解错误 例题 已知向量a b c是空间的一个单位正交基底 向量a b a b c是空间的另一组基底 若向量p在基向量a b a b c下的坐标为 3 求p在基底 a b c 下的坐标 选题明细表 一 选择题1 在下列命题中 若向量a b共线 则向量a b所在的直线平行 若向量a b所在的直线为异面直线 则向量a b一定不共面 若三个向量a b c两两共面 则向量a b c共面 已知空间的三个向量a b c 则对于空间的任意一个向量p总存在实数x y z使得p xa yb zc 其中正确命题的个数是 a a 0 b 1 c 2 d 3 解析 a与b共线 a b所在直线也可能重合 故 不正确 据自由向量的意义知 空间任两向量a b都共面 故 错误 三个向量a b c中任两个一定共面 但它们三个却不一定共面 故 不正确 只有当a b c不共面时 空间任意一向量p才能表示为p xa yb zc 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为0 故选a 5 对于空间任意一点o和不共线的三点a b c 且有op xoa yob zoc x y z r 则x y z 1是四点p a b c d共面的 c a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件解析 这是共面向量定理的一个推论 选c 二 填空题7 已知2a b 0 5 10 c 1 2 2 a c 4 b 12 b c 8 已知f1 i 2j 3k f2 2i 3j k f3 3i 4j 5k 若f1 f2 f3共同作用于一物体上 使物体从点m1 1 2 1 移动到点m2 3 1 2 则合力所做的功是 解析 f1 1 2 3 f2 2 3 1 f3 3 4 5 w f1 f2 f3 m1m2 2 1 7 2 3 1 14 答案 14 三 解答题9 2010年宁波模拟 如图 四棱锥pabcd的底面abcd为一直角梯形 其中ba ad cd ad cd ad 2ab pa 底