工程流体力学2.ppt

工程流体力学 主讲 冯进长江大学机械工程学院 2流体静力学 流体静止包括两种情况 一是流体对绝对坐标系 地球 整体是静止的 另一种情况是流体整体对绝对坐标系是运动的 但流体内部没有相对运动 称为相对静止 研究绝对静止和相对静止液体的平衡状况 这是本章讨论的内容 2 1液体静压强及其特点 一 压强在静止或相对静止的流体中 单位面积上沿内法线方向的表面力称为压强 从静止液体中 取一微元体 如图 作用于上沿的内法线方向的作用力为 则根据定义 二 静压强有两个特点 1 静压强的方向永远沿着作用面的内法线方向 理由如下 1 如果静压强不垂直于作用面 则可分解为正应力和切应力 根据流体的特点 切应力存在必然引起相对运动 这与静止液体假设矛盾 故切应力必须为零 压强垂直于作用面 2 正应力有拉应力和压应力之分 假如压强方向与作用面外法线方向一致 那么流体受到拉力 根据流体特性 流体不能承受拉应力 只能承受压应力 故压强方向与作用面内法线方向一致 2 静止流体的某一点压强大小与作用面的方位无关 任意一点的静压强在各个方向上相等 在静止流体中 任取一四面体 则各面受力情况如图示 斜面BCD的压力 如果质量力它在三个方向上的分量为 根据立体几何知道 四面体的体积为 若流体的密度为 根据理论力学可以写出四面体上诸力对各坐标轴的平衡方程式为 1 2 3 将 代入方程式 1 整理得 其中 故 同理 当趋于零时 有 即 这说明静止流体中任意一点的静压强在各个方向上都相等 2 2静止流体平衡微分方程 一 平衡微分方程在静止流体中围绕某一点A取一六面体 A点的压强为p 表面力中只有沿内法线方向作用在六个面上的压力 各个面上的压强如图示 六面体的质量在坐标上的分量为 首先 沿X方向建立平衡方程 即 整理得 4 同理在Y和Z方向上分别有 5 6 因此 用矢量表示 二 流体静止时质量力必须满足的条件 静止流体的平衡微分方程可以写成 两边取旋度 有 故 三 质量力有势 对于静止的不可压缩均值流体 其密度 等于常数 静止流体的平衡微分方程可写成 两边取旋度 有 上式说明对于静止的不可压缩均值流体 质量力有势 四 等压面和等压面方程 1 等压面定义若某连续曲面上各点的压强相等 则称为该曲面为等压面 不同流体的分界面等皆为等压面 如自由界面 不同液体的分界面 2 等压面方程 按照多元函数全微分的定义 有 故 当某个面上压强等于常数时 dp 0 这时可以得到等压面方程 上式表明质量力沿等压面移动 其做功为零 也说明质量力垂直于等压面 这是等压面重要的性质 如果已知质量力方向 可求等压面的几何形状 当质量力仅为重力时 等压面必定为水平面 互不掺混的两种流体的分界面也是等压面 2 3绝对静止流体的压强分布 一 绝对静止流体的压强基本方程1 不可压缩均值流体绝对静止液体所受到的质量力只有重力 取坐标轴如下图所示 则单位质量流体的质量力为 根据平衡微分方程 有 解得 对于点1和2的关系 则有 若质量力仅为重力 根据等压面方程 则有 这说明绝对静止流体的等压面为水平面 自由界面上各点的压力相等 所以自由面为等压面 2 可压缩流体 可压缩流体的密度是随压强变化的 故不能象不可压缩流体那样进行简单积分 只有知道密度变化关系后才能积分 假设可压缩流体为气体 对完全气体的等温过程 有 p0为等压面Z Z0面上的压强 压强的度量有两种标准 一是绝对压强标准 它以真空为起点 物理真空情况下压强为零 另一个是表压强 它是以大气压强为起点 把压强等于一个大气压作为零 正值叫表压强 负值叫真空度 二 测量标准 压强除了用pa的单位表示外 也常用液柱高度来表示 即 代表某点的压强所对应的液柱高度 常见有水银柱压力表和酒精柱压力表 三 液柱式测压仪器 测量压强的仪表叫压力表 利用液柱高度测量压强称为液柱压力表 之间的作用力在作用面上的表现 1 气压计故 因此 2 测压管 3 U形管压力表建立等压面1 1 在等压面上建立平衡方程 4 U形管差压计建立等压面1 1 在等压面上建立平衡方程 2 4相对静止流体 相对静止是指流体整体对绝对坐标系 地球 有相对运动 但液体内部各部分彼此间没有相对运动 对于这样的相对静止流体 其压强和等压面又是怎样的呢 现在我们讨论这个问题 一 等加速直线运动容器中的液体 1 任意点的压强设盛有液体的容器沿水平面以加速度a作等加速直线运动 除受到垂直向下的重力外 还受到惯性力的影响 惯性力大小等于液体的质量乘以运动加速度 方向与运动方向相反 即有 此时 压强增量的全微分方程为 积分得 积分常数C这样选定 取坐标点 0 H 即 2 等压面方程根据等压面方程 积分得 由上式可见 C取不同的常数 代表不同的等压面 等压面很多 但我们最关心的是自由面 即 自由面方程为 二 等角速度旋转容器中的液体1 任意一点的压强设容器以等角速度绕Z轴旋转 此时流体相对于容器没有相对运动 同时流体之间也没有相对运动 因此 作用于流体上的力有重力和水平离心力 质量力 则压强增量的全微分方程 积分压强增量的全微分方程 得 积分常数C这样确定 设r 0时 z z0 p p0 则 2 等压面方程根据等压面方程 积分得 当r 0时 z z0 p p0 为自由界面 故 例 如图示 有一圆柱形敞口容器 半盛以水 若已知D 300mm H 500mm h 300mm 当此容器绕其立轴等角速旋转时 问当转速n多大时 水面恰好达到容器的边缘 作用在容器底面上的静水总压力与旋转前相比有什么不同 为什么 解 根据题意 圆柱形敞口容器绕其中心立轴等角速旋转 其自由界面的方程为 由于静止和旋转时液体的体积没有发生变化 因此存在以下关系 在上式中 要求 故 当r D 2时 Z H 故 因此 有 2 5平面上的液体总压力 工程上进行结构设计时 如果这些结构与液体相接触 常常需要计算作用在面上的总压力及其位置 总压力的作用点在流体力学中称为压力中心 现在通过下例来说明计算液体作用在平面上的总压力的一般原理 如图 平面AB是一个垂直于纸面并与水平面成的斜面 其面积为S 根据静压强的物理性质 某点的压强在各个方向上相等 作用方向与作用面的内法线方向一致 故作用在平面上各点的力的方向是相同的 属于平行力系 因此 可根据力学原理来求液体的总压力的大小和作用点 一 平面与液体接触侧的总压力及其作用点 1 总压力的大小设液面上受到的大气压强为pa 平面的一侧与液体接触 另侧与大气接触或不接触 当另侧与大气接触时也受到大气压强的作用 现在讨论与液体接触侧斜面上的压力 在点 0 y 处 压强有 与液体接触侧斜面上的总压力P内 其中表示面积对X轴的面积矩 根据图形形心求解原理 可知 故 2 总压力的作用点 压力中心 总压力的作用点在流体力学上称为压力中心 根据力学上平行力系的力矩原理 诸分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩 对X轴求力矩有 其中 上式表示面积对X轴的惯性矩 当坐标原点移到时 有 故 由于形心坐标为 0 0 故 因此 图形对X轴的惯性矩为 图形对形心轴的轴惯性矩 那么总压力的作用点 二 平面与大气接触侧的总压及作用点 当平面的另一侧与大气接触时 作用于该侧面的总压力为 对X轴的力矩 当平面的另一侧与大气不接 有 三 平面受到的总压力及其压力中心 当平面另一侧未受到大气作用时 总压力P P内 压力中心YD YD内 当平面外侧受到大气压作用时 总压力为 压力中心为 例1 如图示 一直径为1m的园形平板闸阀与水平面成夹角 300 用铰链连于O点 H0 5m 闸门质量m1 1000kg 背面暴露在大气中 求 闸阀受到的液体总压力和压力中心 为保持闸门关闭 水平力F应为多大 解1 求作用在闸门上的总压力液面上作用有大气压 闸门背面也作用有大气压 故在计算时可以不考虑大气压强的影响 总压力为 2 求压力中心 3 求F根据力矩平衡原理 作用在闸板的诸力对铰结点的力矩和为零 故 对于圆来说形心必在圆心 yc R S R2 对通过形心的X轴的惯性矩 例2 如图示 有一圆柱形容器 直径D 1 2m 顶盖上在r0 0 43m处开一小孔 安装敞口测压管 完全充满水 当此容器绕其立轴旋转时测压管中的水位y 0 5m 问多大转速n下使顶盖受到的静水总压力为零 解 将Z坐标建在顶盖轴心 这时Z 0 顶盖上的压强为 根据已知条件 处压强 顶盖上的压强分布为 顶盖底面受到向上的作用力 其总压力FZ1为 顶盖顶面受到向下的作用力 其总压力FZ2为 根据已知条件 顶盖受到的总作用力为零 即 2 6曲面上的液体总压力 在平面上由于各点的压强方向相互平行且成线性变化 因此 求解总压力是比较容易的 而在曲面上 由于各点随深度的变化不是直线变化 且方向也不相同 这样就增加了分析问题的复杂性 为了方便起见 以1 4园柱面为例来分析 所得结论将同样适合于空间曲面 这里仅研究液体与曲面接触侧的压力 如上图所示 曲面上某点处有 显然 dP的压力方向随积分位置的不同而不同 故dP可分解为dPz和dPx 这样有 显然为曲面在YOZ平面上的投影 为曲面在XOY平面上的投影 所以 总压力的水平分力为 总压力的垂直分量 这样根据合力求解法 有 反映了总压在X方向的分量 等于曲面在YOZ平面上的投影面积所受到的平面总压力 它相当于从曲面算起向上引至液面的若干小柱体的液体重量之总和 由于重度不变即不变 则令 在流体力学中 称V为压力体 现在我们进一步讨论压力体的求法 a 表示的压力体充满流体 我们称为实压力体 用 表示 在Z方向的压力向下 b 表示曲面引至液面的柱体中 无流体 这样的压力体称为虚压力体 用 号表示 在Z方向的压力向上 c 表示一种比