高考数学理一轮复习 5.2 等差数列精品课件 新人教A版.ppt

第二节等差数列 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 等差数列的有关定义 1 一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 n n d为常数 第二项 差 an 1 an d 3 等差数列的性质 1 若m n p q m n p q n 则有 特别地 当m n 2p时 注 此性质常和前n项和sn结合使用 2 等差数列中 sm s2m sm s3m s2m成等差数列 3 等差数列的单调性 若公差d 0 则数列为 若d 0 则数列为 若d 0 则数列为 am an ap aq am an 2ap 递增数列 递减数列 常数列 1 已知等差数列 an 中a1 a2 4 a7 a8 28 则数列的通项公式an为 a 2nb 2n 1c 2n 1d 2n 2解析 由已知得 a7 a8 a1 a2 12d 24 d 2 a1 a1 d 4 a1 1 an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 答案 c 3 已知等差数列 an 满足a2 a4 4 a3 a5 10 则它的前10项的和s10等于 a 138b 135c 95d 23解析 a2 a4 4 a3 a5 10 a5 a4 a3 a2 2d 6 5 已知等差数列 an 其前n项和为sn 且s10 10 s20 30 则s30 解析 s10 s20 s10 s30 s20成等差数列 2 s20 s10 s10 s30 s20 40 10 s30 30 s30 60 答案 60 例1 等差数列 an 的前n项和记为sn 已知a10 30 a20 50 1 求通项an 2 若sn 242 求n 即时训练设 an 是一个公差为d d 0 的等差数列 它的前10项和s10 110且a1 a2 a4成等比数列 1 证明 a1 d 2 求公差d的值和数列 an 的通项公式 1 证明 因a1 a2 a4成等比数列 故a22 a1a4 而 an 是等差数列 有a2 a1 d a4 a1 3d 于是 a1 d 2 a1 a1 3d 即a12 2a1d d2 a12 3a1d 化简得a1 d 热点之二等差数列的判定与证明证明一个数列 an 是等差数列的基本方法有两种 一是利用等差数列的定义法 即证明an 1 an d n n 二是利用等差中项法 即证明 an 2 an 2an 1 n n 在选择方法时 要根据题目条件的特点 如果能够求出数列的通项公式 则利用定义法 否则 可以利用等差中项法 即时训练已知数列 an 的通项公式为an pn2 qn p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p q 数列 an 1 an 是等差数列 解 1 设数列 an 是等差数列 则an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 应是一个与n无关的常数 所以有2p 0 即p 0 q r 2 因为an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 所以 an 2 an 1 an 1 an 2p n 1 p q 2pn p q 2p 常数 所以 数列 an 1 an 是等差数列 热点之三等差数列的性质及应用等差数列的简单性质 已知数列 an 是等差数列 sn是其前n项和 1 若m n p q 则am an ap aq 特别 若m n 2p 则am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为kd 3 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 即时训练 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s9 72 则a2 a4 a9 2 等差数列 an 的前n项和为sn 若s2 2 s4 10 则s6等于 a 12b 18c 24d 42 例4 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn有最大值 并求出它的最大值 思路探究 此题可有多种解法 一般可先求出通项公式 利用不等式组确定正负转折项 或者利用性质确定正负转折项 然后求其和的最值 12 n 13 n n 当n 12或13时 sn有最大值 s12 s13 130 解法二 由a1 20 s10 s15 解得公差d s10 s15 s15 s10 a11 a12 a13 a14 a15 0 a11 a15 a12 a14 2a13 a13 0 d0 a1 a2 a11 a12均为正数 而a14及以后的各项均为负数 当n 12或13时 sn有最大值 s12 s13 130 思维拓展 求等差数列前n项和的最值 常用的方法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 或者利用性质求其正负转折项 便可求得和的最值 利用等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 为二次函数 利用二次函数的性质求最值 即时训练已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 又sn表示 an 的前n项和 则使得sn达到最大值的n是 a 21b 20c 19d 18解析 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a3 35 a2 a4 a6 99 a4 33 d a4 a3 33 35 2 等差数列知识在高考中属必考内容 通常直接考查等差数列的通项公式 前n项和公式的题目为容易题 常以选择题 填空题形式出现 而与其他知识 函数 不等式 解析几何等 相结合的综合题一般为解答题 难易程度为中档题 分析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用 裂项法求数列的和 熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键 对 1 可直接根据定义求解 2 采用裂项求和即可解决 1 2010 福建高考