高考数学二轮复习 4.2 数列的综合应用课件 理.ppt

第2讲数列的综合应用重点知识回顾数列的综合应用通常有三种类型 一 数列知识范围内的综合应用1 等差 等比数列以及递推数列之间的综合问题 2 解此类题型时 要紧扣等差 等比数列的定义和性质 做出合理的分析 灵巧地选择公式或性质 找出解题的切入点和思路 二 数列的实际应用问题试题中常用的数学模型有 1 构造等差 等比数列的模型 然后再利用数列的通项公式和求和公式求解 2 用无穷递缩等比数列的通项公式求解 3 通过归纳得到结论 再用数列知识求解 三 数列与其他分支知识的综合应用1 主要为数列与函数 方程 不等式 三角 解几 极限数学归纳法等知识的综合 2 解此类综合题 首先要认真审题 弄清题意 分析出涉及哪些数学分支内容 在每个分支中各是什么问题 其次 要精心分解 把整个大题分解成若干个小题或 步骤 使它们成为在各自分支中的基本问题 最后 分别求解这些小题或步骤 从而得到整个问题的结论 主要考点剖析考点一数列与数学归纳法的综合应用命题规律数学归纳法突出 归纳 猜想 证明 的思维方法 多表现为证明等式或不等式 且常以数列问题为背景 其中不等式的证明较为常见 题型为大题且难度较大 例1在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 2 证明 分析 求出数列 an bn 的前4项后猜测 an bn 的通项公式 再用数学归纳法证明 对an bn进行放缩 再求和可得 解析 1 由条件得2bn an an 1 an 12 bnbn 1由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 用数学归纳法证明 当n 1时 由上可得结论成立 假设当n k时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 bk 1 k 2 2 所以当n k 1时 结论也成立 由 可知an n n 1 bn n 1 2对一切正整数都成立 2 n 2时 由 1 知an bn n 1 2n 1 2n n 1 综上 原不等式成立 点评 本题主要考查等差数列 等比数列 特殊到一般的思想方法 数学归纳法 裂项相消法 不等式的放缩等基础知识 考查综合运用数学知识进行归纳 总结 推理 论证等能力 由此可见 数学不但要教演绎 更要教猜想和归纳 互动变式1设函数y n n 的最小值为an 最大值为bn 且cn 1 求数列 cn 的通项公式 2 记sn 求证 2 1 sn 2 解析 1 由y 可得 y 1 x2 x y n 0 当y 1时 x n 1 当y 1时 因为方程有实数根 所以 1 4 y 1 y n 0 可检验当y 1时 也满足此式 整理得4y2 4 n 1 y 4n 1 0 则有anbn 所以cn 即数列 cn 的通项公式为cn 2 由题意要证明 下面用数学归纳法证明 当n 1时 不等式2 1 1 2显然成立 假设当n k时 不等式成立 即则当n k 1时 只须证明 成立 知即证明 成立 所以当n k 1时不等式成立 综合 可知对一切正整数 不等式成立 考点二数列与函数的综合应用命题规律数列与函数交汇题是近年高考出现的考题 常以函数为背景 渗透函数的性质 导数的应用 是难度大的数列问题 以解答题为主 例2已知函数f x 2n x在区间 0 上的最小值是an n n 1 求an 2 若tn cos sin 试比较tn与tn 1的大小 3 设sn为数列 的前n项和 求sn的值 分析 1 借助导数求出最小值an 2 利用y cosx的单调性证明 3 通过裂项求和得出sn 再求其极限 解析 1 由f x 1 令f x 0 得x 当x 0 时 f x 0 an f x min f 2 tn cos sin cos an 易知 0 又函数y cosx在区间 0 上是减函数 tn 1 tn n n 3 因为 所以sn 1 故sn 点评 本题考查函数的最值 单调性 数列的求和 极限等知识 综合性较强 互动变式2已知数列 an 满足a1 an 1 1 求a2 a3 a4的值并猜想an的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 证明sn n ln 解析 1 a2 a3 a4 猜测an 下面用数学归纳法进行证明 当n 1时 由题目已知a1 命题成立 假设当n k k 1 k n 时成立 即ak 那么当n k 1 ak 1 也就是说 当n k 1时命题也成立 综上所述 数列 an 的通项公式为an 2 设f x ln x 1 x x 0 则f x 1 0 函数f x 在区间 0 上为减函数 所以f x 0 从而ln 1 1 1 ln 1 an 1 1 ln n 2 ln n 1 sn 1 ln3 ln2 1 ln4 ln3 1 ln n 2 ln n 1 n ln 即sn n ln 考点三数列在实际中的应用命题规律数列实际应用题与现实生活和生产科学中的具体事件相联系 建立数学模型是解决这类问题的核心 在试题中常用的数学模型有 构造等差 等比数列的模型 然后再应用数列的通项公式和求和公式求解 用无穷递缩等比数列的求和公式求解 通过归纳得到结论 再用数列知识求解 例3流行性感冒 简称流感 是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病 某市去年11月份曾发生流感 据资料统计 11月1日 该市新的流感病毒感染者有20人 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 由于该市医疗部门采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人 到11月30日止 该市在30日内感染该病毒的患者总共有8670人 问11月几日 该市感染此病毒的新患者人数最多 并求这一天的新患者人数 分析 设11月第n日患者人数最多 根据题意可知8670人由两个等差数列的和组成 分别用n的代数式表示两个等差数列的和可求出n的值 解析 设从11月1日起第n n n 1 n 30 日感染此病毒的新患者人数最多 则从11月1日至第n日止 每日新患者人数依次构成一个等差数列 这个等差数列的首项为20 公差为50 前n日的患者总人数即该数列前n项之和sn 20n 50 25n2 5n 从第n 1日开始 至11月30日止 每日的新患者人数依次构成另一等差数列 这个等差数列的首项为 20 n 1 50 30 50n 60 公差为 30 项数为 30 n 30 n 日的患者总人数为t30 n 30 n 50n 60 30 30 n 65n 495 65n2 2445n 14850 依题意 sn t30 n 8670 即 25n2 5n 65n2 2445n 14850 8670 化简 得n2 61n 588 0 解得n 12或n 49 1 n 30 n 12 第12日的新患者人数为20 12 1 50 570 第11月12日 该市感染此病毒的新患者人数最多 且这一天的新患者人数为570人 点评 在实际问题中 如果某一变量是离散型的问题 且按某一常量依次递增 或递减 则可建立等差数列模型 利用等差数列知识便可使问题顺利解决 互动变式32001年初某个拥有一万人口的贫困地区为了脱贫致富奔小康 将人口增长率控制为2 并且利用当地资源优势创办一家企业 这家企业2001年创利润90万元 自2002年开始每年实现利润为前面所有年利润总和的 1 若以2001年为第1年 试写出这家企业第n年实现利润an与n的关系式 2 设该地区2009年底除上述这家企业外的经济收入可达3000万元 问到2009年底该地区人民生活能否达到 人均年收入5000元 的小康线 计算时当 a 0 003时 可采用近似公式 1 a n 1 na 解析 1 2001年起该企业各年的利润 万元 组成数列 an sn为其前n项和 依题意知 2 至2009年底 即n 9 该企业创利润为a9 60 9 2 2143 35 故至2009年底 该地区经济总收入为2143 35 3000 5143 35 万元 而欲达小康水平线的经济收入总数为1 1 9 5000 5090 万元 因为5143 35 5090 所以可达小康水平 考点四数列与不等式 解析几何 二项式定理等知识的综合应用命题规律数列与不等式 解析几何 二项式等知识相联系的综合题是常考题型 要注意把数列的逆推性与不等式的性质 不等式证明的方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 数学归纳人法等 和不等式问题的思考方法结合起来 进行分析 寻求解题思路 二项式定理常常用于不等式的放缩 例4 2011沧州联考 过点p 1 0 作曲线c y xk x 0 k n k 1 的切线 切点为q1 设q1点在x轴上的投影是点p1 又过点p1作曲线c的切线 切点为q2 设q2在x轴上的投影是p2 依此下去 得到一系列点q1 q2 qn 设点qn的横坐标为an 1 试求数列 an 的通项公式an 用k的代数式表示 2 求证 an 1 3 求证 1时 切线过点pn 1 an 1 0 即0 ank kank 1 an 1 an 解得 数列是首项为 公比为的等比数列 故所求通项an n n 2 由 1 知an n n an cn0 cn1 cn2 cnn cn0 cn1 1 3 设sn 则两式相减得 sn k 1 故sn k2 k 点评 数列与解析几何 导数与二项式相结合是本题的一大亮点 错项相消是数列求和中的常用方法 用二项式定理进行近似计算是教材中的重要内容 切不可忘记 第 3 小问的关键是在等式的两边同乘以公比的倒数 再把两式相减 互动变式4已知数列 an 的前n项和sn an n n 且a2 1 bn an 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 2 已