高考数学理一轮复习 3.8 正弦定理和余弦定理应用举例精品课件 新人教A版.ppt

第八节正弦定理和余弦定理应用举例 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线的角叫仰角 在水平线的角叫俯角 如下图 上方 下方 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如上图 3 方向角相对于某一正方向的水平角 如右图 1 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 2 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 3 南偏西等其他方向角类似 4 坡度坡面与水平面所成的二面角的度数 如右图 角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如右图 i为坡比 1 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 之间的关系是 a b c 90 d 180 解析 根据仰角与俯角的含义 画图即可得知 答案 b 2 如右图所示 为了测量某障碍物两侧a b间的距离 给定下列四组数据 不能确定a b间距离的是 a a bb ac a b d b解析 选项b中由正弦定理可求b 再由余弦定理可确定ab 选项c中可由余弦定理确定ab 选项d同b类似 答案 a 3 在200m高的山顶上 测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 m 5 某观察站c在a城的南偏西20 方向 由a城出发有一条公路 走向是南偏东40 距c处31千米的公路上的b处有一人正沿公路向a城走去 走了20千米后到达d处 此时cd距离为21千米 则此人还需走 千米才能到达a城 解析 如右图所示 设ad x ac y bac 20 40 60 在 acd中 有x2 y2 2xycos60 212 即x2 y2 xy 441 而在 abc中 x 20 2 y2 2 x 20 ycos60 312 即x2 y2 xy 40 x 20y 561 得y 2x 6 代入 得x2 6x 135 0 解得x 15 千米 即此人还需走15千米才能到达a城 答案 15 热点之一测量距离问题有关距离测量问题 主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题 如海上 空中两地测量 隔着某一障碍物两地测量等 由于该问题不能采取实地测量 解决它的方法是建立数学模型 即构造三角形 转化为解三角形问题 通常是根据题意 从实际问题中抽象出一个或几个三角形 然后通过解这些三角形 得到所求的量 从而得到实际问题的解 解题时应认真审题 结合图形去选择定理 使解题过程简捷 例1 如右图 南山上原有一条笔直的山路bc 现在又新架了一条索道ac 小李在山脚b处看索道 发现张角 abc 120 从b处攀登400米到达d处 回头看索道 发现张角 adc 160 从d处再攀登800米到达c处 问索道ac长多少 精确到米 使用计算器计算 在 adc中 dc 800 adc 160 ac2 ad2 dc2 2ad dc cos adc 538 92 8002 2 538 9 800 cos160 1740653 8 ac 1319 索道ac长约1319米 思维拓展 解答过程中抓不住ad的桥梁作用导致无法求解 其原因是对题意不理解所致 热点之二测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点 通过测量仰角 俯角等数据计算物体的高度 这类问题一般用到立体几何知识 先把立体几何问题转化为平面几何问题 再通过解三角形加以解决 思路探究 本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角 即 dfa 因此用 来表示图中各边之长 再由导数法求其最值 即时训练某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为30 求塔高 热点之三测量角度问题首先应明确方位角的含义 在解应用题时 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最关键 最重要的一步 通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题 解题中也要注意体会正 余弦定理 联袂 使用的优点 思路探究 根据题意和图形及方位角等概念 确定所求的角在哪个三角形中 该三角形中已知哪些量 需要哪些量 即时训练 2010 合肥质检一 如右图 一船在海上由西向东航行 在a处测得某岛m的方位角为北偏东 角 前进mkm后在b处测得该岛的方位角为北偏东 角 已知该岛周围nkm范围内 包括边界 有暗礁 现该船继续东行 当 与 满足条件 时 该船没有触礁危险 在高考试题中 解三角形常作为工具解决实际问题 2009年宁夏 海南卷 理 就考查了这一点 该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤 这是一大难点 同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程 能发挥数学的价值 这最能体现新课标的意图 还能有效考查考生的能力 代表了一种新的考查方向 例4 2009 海南 宁夏高考 为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水平方向在a