高考数学第一轮总复习 27指数函数与对数函数经典实用学案（PPT） 新人教版.ppt

3 规定正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂a a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 0 没有意义 4 有理指数幂 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 5 若ab n 那么数b叫 记作logan b 其中a叫 n叫 即ab n a 0 且a 1 和没有对数 n 0 6 n的常用对数记作 n的自然对数记作 它们分别以和为底 ar s ars arbr 以a为底n的对数 对数的底数 真数 b logan 负数 零 lgn 1nn 10 e 7 alogan loga1 logaa 若a 0 a 1 m 0 n 0 那么 loga mn loga logamn n r n 0 1 logam logan logam logan nlogam 二 指数函数与对数函数1 函数叫指数函数 其中x是自变量 a叫底数 函数叫对数函数 其中x是自变量 a叫底数 y ax a 0 且a 1 y logax a 0且a 1 2 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 y轴 y 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 x轴 x 易错知识一 运算法则运用错误 2 1 log63 2 log62 log618 log64 答案 13 已知loga2 m loga3 n 则a2m n的值为 答案 12 二 没有分类出错4 若实数a满足loga 1 则a的取值范围是 答案 0 1 三 比较大小易混5 如 将下列各数按从大到小的顺序排成一列 四 概念理解错误6 设函数f x logax a 0 a 1 若f x1x2 x2009 8 则的值等于 a 4b 8c 16d 2loga8答案 c 失分警示 因对数运算法则不熟练而出错 五 性质应用错误7 设正数x y满足log2 x y 3 log2x log2y 则x y的取值范围是 a 0 6 b 6 c 1 d 0 1 答案 b 解析 log2 x y 3 log2x log2y log2xy x y 3 xy 由x y r 知xy 2 x y 3 2 令x y a a 3 a 6或a 2 舍去 故选b 失分警示 本题不能分别求出x y的值 只能将x y看作一个参数来求解 回归教材答案 d 答案 a 3 课本p852题改编 函数y 的定义域是 a 3 b 3 c 4 d 4 解析 log2x 2 0 log2x 2 x 4 答案 d 4 已知图中曲线c1 c2 c3 c4是函数y logax的图象 则曲线c1 c2 c3 c4对应的a的值依次为 答案 b 6 1 设y a x a 0且a 1 当a 时 y为减函数 此时当x 时 0 y 1 2 设y loga x 2 a 0且a 1 当a 时 y为减函数 此时当x 时 y 0 答案 1 1 0 2 0 1 1 指数 对数式的化简和运算不独立命题 但在其他命题的研究中经常遇到等式的运算 变形 求值 化简及等式证明等 它是研究方程 不等式和函数的基础 很多数学问题的推理 判断也需要在等式的变形中解决 因此要熟练掌握并能灵活运用指数 对数的运算法则 例1 计算下列各式 总结评述 若式子中既有分数指数又有根式 可先把根式化成分数指数幂 再根据幂的运算性质进行计算 对数运算应根据对数的运算法则 即积 商 幂的对数性质进行运算 1 利用分数指数幂来进行根式运算 其顺序是先把根式化为分数指数幂 再根据幂的运算性质进行计算 2 运用对数的运算法则时 要注意各字母的取值范围 只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立 同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来 2009 湖南岳阳一模 计算 4 2log23 log2 答案 5解析 4 2log23 log2 2 2log23 2log23 3 5 答案 3 例2 2007 天津 设a b c均为正数 且2a loga b logb c log2c 则 a a b cb c b ac c a bd b a c 命题思路 考查指 对函数的图象及性质 解析 解法一 由函数y 2x y x y log2x y logx的图象知 0 a b 1 c 故选a 解法二 a 0 2a 1 loga 1 00 00 log2c 0 c 1 0 a b 1 c 故选a 答案 a 答案 b 2009 全国 7 设a lge b lge 2 c lg 则 a a b cb a c bc c a bd c b a答案 b 例3 求下列函数的值域及单调区间 y x2 2x 3 y x x 2 y log 1 x 3 x y log2x 2 log2x2 3 分析 研究函数的值域 单调区间应先求出定义域 求复合函数y f g x 的值域应先求内层u g x 的取值范围 再根据u的取值范围去求y f u 的取值范围 即为所求 第 题求值域时应注意y 0 求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得 解析 函数的定义域为r设u x2 2x 3 x 1 2 4 4 0 y 4 81即函数的值域为 y 0 y 81 x 1 时 u为减函数x 1 时 u为增函数又 y u为减函数 y x2 2x 3的减区间为 1 增区间为 1 由 1 x 3 x 0得函数的定义域为 x 3 x 1 u 1 x 3 x x2 2x 3 x 1 2 4当 3 x 1时 u 0 4 y 2 即函数的值域为 2 u x 1 2 4在 3 1 上为增函数 在 1 1 上为减函数又y logu为减函数 函数y log 1 x 3 x 的减区间为 3 1 增区间为 1 1 设u log2x则y u2 2u 3 u 1 2 4 u r 4 函数y log2x 2 log2x2 3的值域为 4 由u 1得log2x 1 x 2由u 1得log2x 1 0 x 2 函数y log2x 2 log2x2 3的减区间为 0 2 增区间为 2 函数y x 1 的单调递减区间为 值域为 答案 1 0 1 解析 显然 t x 1 的递增区间是 1 又y t是减函数 所以y x 1 的递减区间是 1 由于t 0 所以0 y 1 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论函数f x 的单调性 解析 1 由ax 1 0得ax 1 当a 1时 x 0 当0 a 1时 x 0 当a 1时 f x 的定义域为 0 当0 a 1时 f x 的定义域为 0 2 当a 1时 设0 x1 x2 则1 ax1 ax2 故0 ax1 1 ax2 1 loga ax1 1 loga ax2 1 f x1 f x2 故当a 1时 f x 在 0 上是增函数 类似地 当0 a 1时 f x 在 0 上为增函数 反思归纳 解决含参数的指数 对数问题切不可忽视底数与 1 的关系 讨论函数的单调性时 应注意若f x 在区间d1 d2上分别具有单调性 但f x 在区间d1 d2上未必具有单调性 复合函数的单调性规律 如果y f u 和u g x 单调性相同 那么y f g x 是增函数 如果y f u 和u g x 单调性相反 那么y f g x 是减函数 这正是解决本题中 2 的依据 即所谓 同增异减 例4 2009 北京西城 已知函数f x loga是奇函数 a 0 a 1 1 求m的值 2 判断f x 在区间 1 上的单调性并加以证明 3 当a 1 x r a 2 时 f x 的值域是 1 求a与r的值 解析 1 f x 是奇函数 f x f x 在其定义域内恒成立 1 m2x2 1 x2恒成立 m 1或m 1 舍去 m 1 总结评述 第 1 问利用函数的奇偶性 把函数问题转化为方程问题从而确定了解题方向 这里应特别注意f x f x 恒成立是f x 为奇函数的必要条件 故求出的m值要检验f x 的定义域 第 2 问是运用单调性的定义解决的 在涉及对数值的大小时 不要忽视对底数的影响 对于第 3 问 将f x 的值域转化为x的范围 从而建立了参数的关系 体现了数学转化思想的重要性 若函数y 为奇函数 1 求函数的定义域 2 确定a的值 3 求函数的值域 4 讨论函数的单调性 总结评述 1 记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助 1 若函数y f x 单调递增 减 则y f x 单调递减 增 2 若函数y f x 在某个区间上恒为正 负 且单调递增 减 则y 单调递减 增 3 若函数y f x 单调递增 减 则y f x k单调递增 减 2 对于复杂函数解析式不妨先化简 后用定义判断其奇偶性及其他性质 对未知函数的研究 可以适当的作出其图象 1 指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y a 0 a 1