高中数学 112余弦定理精品课件同步导学 新人教A版必修5.ppt

1 1 2余弦定理 1 了解向量法证明余弦定理的推导过程 2 掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题 1 利用余弦定理求三角形中的边角问题及正 余弦定理的综合应用是本节热点 2 三种题型都有可能出现 属中 低档题 1 在rt abc中 c 90 三边满足勾股定理 2 在 abc中 正弦定理是3 在 abc中 若a 3 b 5 c 45 三角形确定吗 又如何求边c的长 4 在 abc中 若a 4 b 5 c 6 能求角a b c吗 a2 b2 c2 1 余弦定理 1 语言叙述三角形中任何一边的平方等于减去的积的 2 公式表达a2 b2 c2 其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 2 余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题 一类是已知解三角形 另一类是已知解三角形 两边及夹角 三边 答案 a 答案 a 3 abc中 ab 5 bc 6 ac 8 则 abc的形状是 答案 钝角三角形 4 在 abc中 已知a 5 b 3 角c的余弦值是方程5x2 7x 6 0的根 求第三边长c 由题目可获取以下主要信息 已知三边比例 求三角形的三内角 解答本题可应用余弦定理求出三个角 题后感悟 此题为 已知三边 求三角形的三个角 类型问题 基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦 再判定此角的取值 求得第一个角 再用正弦定理求出另一个角 最后用三角形内角和定理 求出第三个角 一般地 先求最小角 再求最大角 题后感悟 可比较两种方法 从中体会各自的优点 三角形中已知两边及一角 有两种解法 从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法 方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程 运用解方程的方法求出a边的长 这样可免去判断取舍的麻烦 方法二直接运用正弦定理 先求角再求边 2 若将题中条件改为 b 3 c 2 a 30 应如何求解三角形 在 abc中 若b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 试判断三角形的形状 由题目可获取以下主要信息 边角之间的关系 b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 确定三角形的形状 解答本题先由正弦定理将边转化为角 然后由三角恒等式进行化简 得出结论 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系 然后由边的关系确定三角形形状 题后感悟 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考 可用正 余弦定理将已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等方式得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 也可利用正 余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系 通过三角变换 得出三角形各内角之间的关系 从而判断三角形形状 4 在 abc中 a b c b c a 3bc 且sina 2sinbcosc 试确定 abc的形状 1 余弦定理与勾股定理之间的联系 1 对于余弦定理c2 a2 b2 2abcosc中 若c 90 则c2 a2 b2 此即为勾股定理 也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况 2 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 也是解三角形的重要工具 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 余弦定理也为求三角形的有关量 如面积 外接圆 内切圆等 提供了工具 它可以用来判定三角形的形状 证明三角形中的有关等式 在一定程度上 它比正弦定理的应用更加广泛 特别提醒 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解 原因是余弦定理中涉及的是边长的平方 求得结果常有两解 因此 解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件 2 解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类 1 已知三角形的两边和其中一边的对角 解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角 用三角形的内角和定理求出第三个角 再用正弦定理求出第三边 注意判断解的个数 2 已知三角形的两角和任一边 解三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一边 再由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求第三边 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求第三个角 再由正弦定理求另外两边 3 已知两边和它们的夹角 解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边 再用正弦定理或余弦定理求另一角 最后用三角形内角和定理求第三个角 4 已知三角形的三边 解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角 再用正弦定理或余弦定理求出另一个角 最后用三角形内角和定理 求出第三个角 要解三角形 必须已知三角形的一