高三数学第一轮复习 函数的基本性质课件 新人教B版.ppt

学案3函数的基本性质 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 返回目录 考纲解读 理解函数的单调性 最大 小 值及其几何意义 了解函数奇偶性的含义 返回目录 1 函数的单调性与最值在高考中常以选择 填空题形式出现 但近几年高考常以导数为工具 研究函数的单调性 因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位 2 函数的奇偶性常与函数的单调性 最值等结合考查 是高考考查的热点 3 函数的奇偶性 以选择 填空题居多 且是高考考查的热点 预测明年仍将是考查的热点 考向预测 返回目录 1 单调性 1 单调性的定义一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间m a 如果取区间m中的任意两个值x1 x2 改变量 x x2 x1 0 则当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是 当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是 2 函数f x 在区间d上单调递增 0 3 函数f x 在区间d上单调递减 增函数 减函数 x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 f x1 f x2 0 返回目录 4 从图象上看函数的单调性 从左向右单调递减 图象呈现趋势 单调递增 图象呈现趋势 5 单调递增函数图象上任意两点连线的斜率恒零 单调递减函数图象上任意两点连线的斜率恒零 2 奇偶性 1 奇偶性的定义设函数y f x 的定义域为d 如果对d内的任意一个x 都有 x d 且f x f x 则这个函数叫做 设函数y g x 的定义域为d 如果对d内的任意一个x 都有 x d 且g x g x 则这个函数叫做 小于 下降 上升 大于 奇函数 偶函数 返回目录 函数为奇函数或偶函数的必要条件是 若函数y f x 既为奇函数又为偶函数 则 反之并不一定成立 f x f x f x f x f x f x 0 2 奇函数与偶函数的性质 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 定义域关于原点对称 f x 0 f x f x 0 返回目录 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 在公共定义域内 两个偶函数 或奇函数 的和仍是 两个偶函数 或奇函数 的积仍是 一个偶函数与一个奇函数的积仍是 奇偶数在对称区间上的相同 偶函数在对称区间上的相反 增减性 偶函数 或奇函数 偶函数 奇函数 增减性 返回目录 考点1函数单调性的判定及证明 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 分析 可根据定义 先设 1 x1 x2 1 然后作差 变形 定号 判断 也可以求f x 的导函数 然后判断f x 与零的大小关系 返回目录 解析 解法一 任取x1 x2 1 1 且x10 则 y f x2 f x1 10 0时 y f x2 f x1 0 此时函数f x 在 1 1 上为增函数 返回目录 解法二 a 0时 f x 0 函数f x 在 1 1 上为增函数 对于给出具体解析式的函数 判断或证明其在某区间上的单调性问题 可以结合定义 基本步骤为取点 作差或作商 变形 判断 求解 可导函数则可以利用导数解之 返回目录 讨论函数f x x a 0 的单调性 解法一 显然f x 为奇函数 所以先讨论函数f x 在 0 上的单调性 设x1 x2 0 则 当01 则f x1 f x2 x2 时 00 即f x1 f x2 故f x 在 上是增函数 f x 是奇函数 f x 分别在 上为增函数 f x 分别在 0 0 上为减函数 返回目录 f x1 f x2 返回目录 解法二 由f x 1 0可得x 当x 时或x0 f x 分别在 上是增函数 同理0 x 或 x 0时 f x 0 即f x 分别在 0 0 上是减函数 考点2复合函数的单调性 判断函数f x 在定义域上的单调性 分析 此题f x 是由f x u x x2 1两个函数复合而成 只需判断这两个函数的单调性 返回目录 解析 函数的定义域为 x x 1或x 1 则f x 可分解成两个简单函数 f x u x x2 1的形式 当x 1时 u x 为增函数 为增函数 f x 在 1 上为增函数 当x 1时 u x 为减函数 为减函数 f x 在 1 上为减函数 返回目录 返回目录 1 复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 它的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其单调性的规律为 同增异减 即f u 与g x 有相同的单调性 则f g x 必为增函数 若具有不同的单调性 则f g x 必为减函数 2 讨论复合函数单调性的步骤是 求出复合函数的定义域 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性 返回目录 求函数的单调区间 解析 由4x x2 0 得函数的定义域是 0 4 令t 4x x2 则y t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的单调减区间是 2 4 增区间是 0 2 又y 在 0 上是减函数 函数y 的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 返回目录 考点3抽象函数的单调性 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 分析 1 是抽象函数单调性的证明 所以要用单调性的定义 2 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此 需将右边常数3看成某个变量的函数值 解析 1 证明 设x1 x2 r 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是r上的增函数 返回目录 返回目录 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是r上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 故解集为 返回目录 返回目录 已知函数f x 的定义域是 0 当x 1时 f x 0 且f x y f x f y 1 求f 1 2 证明f x 在定义域上是增函数 3 如果f 1 求满足不等式f x 2的x的取值范围 解析 1 令x y 1 得f 1 2f 1 故f 1 0 2 证明 令y 得f 1 f x f 0 故f f x 任取x1 x2 0 且x11 故f 0 从而f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 返回目录 3 由于f 1 而f f 3 故f 3 1 在f x y f x f y 中 令x y 3 得f 9 f 3 f 3 2 又 f f x 2 故所给不等式可化为f x f x 2 f 9 即f x x 2 f 9 x 0 x 2 0 x x 2 9 x的取值范围是 1 返回目录 解得x 1 返回目录 2010年高考广东卷 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 考点4判断函数的奇偶性 b 分析 判断函数奇偶性应分两步 1 定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 解析 f x 3x 3 x f x 3 x 3x f x f x 即f x 是偶函数 又 g x 3x 3 x g x 3 x 3x g x g x 即函数g x 是奇函数 故应选b 返回目录 返回目录 返回目录 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x log2 x x r x2 x x0 4 f x lg x 2 分析 判断函数奇偶性应分两步 1 定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 3 f x 返回目录 解析 1 x2 1 0且1 x2 0 x 1 即f x 的定义域是 1 1 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 故f x 既是奇函数又是偶函数 2 已知f x 的定义域为r f x log2 x log2 log2 x f x f x 是奇函数 返回目录 3 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x0 得x 2 f x 的定义域 x x 2 关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 返回目录 2010年高考江苏卷 设函数f x x ex ae x x r 是偶函数 则实数a的值为 分析 利用f x f x 对任意x r恒成立 解a的值 解析 因为f x 是偶函数 所以恒有f x f x 即 x e x aex x ex ae x 化简得x e x ex a 1 0 因为上式对任意实数x都成立 所以a 1 考点5函数奇偶性的应用 返回目录 对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的 注意区别 返回目录 设函数f x x3 bx2 cx x r 已知g x f x f x 是奇函数 1 求b c的值 2 求g x 的单调区间与极值 解析 1 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c 从而g x f x f x x3 bx2 cx 3x2 2bx c x3 b 3 x2 c 2b x c是一个奇函数 g 0 0得c 0 由奇函数定义得b 3 2 由 1 知g x x3 6x 从而g x 3x2 6 由此可知 和 是函数g x 的单调递增区间 是函数g x 的单调递减区间 g x 在x 时 取得极大值 极大值为4 g x 在x 2时 取得极小值 极小值为 4 返回目录 返回目录 考点6函数单调性与奇偶性的综合应用 函数f x 的定义域为d x x 0 且满足对于任意x1 x2 d 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明你的结论 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 分析 1 依题设可令x1 x2 1 则可求f 1 的值 2 令x1 1 x2 x 即可找到f x 与f x 间的关系 但需求f 1 的值 3 充分利用奇 偶函数在其对称区间上的单调性求解 返回目录 解析 1 对于任意x1 x2 d 有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x2 1 得f 1 2f 1 f 1 0 2 令x1 x2 1 有f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 返回目录 3 依题设有f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 f 3x 1 f 2x 6 3 即f 3x 1 2x 6 f 64 解法一 f x 为偶函数 f 3x 1 2x 6 f 64 又 f x 在 0 上是增函数 0 3x 1 2x 6 64 解上式得3 x 5或 x 或 x 3 x的取值范围为x x 或 x 3或3 x 5 返回目录 解法二 f x 在 0 上是增函数 等价于不等式组 3x 1 2x 6 0 3x 1 2x 6 64或 3x 1 2x 6 3或x x 5或 x 3x r 3 x 5或 x 或 x 3 x的取值范围为x x 或 x 3或3 x 5 返回目录 1 对抽象函数解不等式问题 应充分利用函数的单调性 将 f 脱掉 转化为我们会求的不等式 2 奇偶函数的不等式求解时 要注意到 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性 返回目录 已知函数y f x 的定义域为r 且对任意a b r 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0恒成立 f 3 3 1 证明 函数y f x 是r上的减函数 2 证明 函数y f x 是奇函数 3 试求函数y f x 在 m n m n z 上的值域 解析 1 证明 设 x1 x2 r 且x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 f x1 故f x 是r上的减函数 2 证明 f a b f a f b 恒成立 可令a b x 则有f x f x f 0 又令a b 0 则有f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而 x r f x f x 0 f x f x 故y f x 是奇函数 返回目录 返回目录 3 由于y f x 是r上的单调递减函数 y f x 在 m n 上也是减函数 故f x 在 m n 上的最大值f x max f m 最小值f x min f n 由于f n f 1 n 1 f 1 f n 1 nf 1 同理f m mf 1 又f 3 3f 1 3 f 1 1 f m m f n n 函数y f x 在 m n 上的值域为 n m 返回目录 考点7函数的周期性 已知函数f x 的定义域为r 且满足f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若f x 为奇函数 且当0 x 1时 f x x 求使f x 在 0 2009 上的所有x的个数 分析 1 只需证明f x t f x 则f x 即是以t为周期的周期函数 2 由第 1 问可知只需求一个周期中f x 的x的个数便可知在 0 2009 上的x的个数 返回目录 解析 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以4为周期的周期函数 2 当0 x 1时 f x x 设 1 x 0 则0 x 1 f x x x f x 是奇函数 f x f x f x x 即f x x 故f x x 1 x 1 又设1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 返回目录 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 f x x 2 1 x 3 x 1 x 1 x 2 1 x 3 由f x 解得x 1 f x 是以4为周期的周期函数 故f x 的所有x 4n 1 n z 令0 4n 1 2009 则 n 又 n z 1 n 502 n z 在 0 2009 上共有502个x使f x f x 返回目录 判断函数的周期只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 返回目录 对函数f x 在 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x f x f 4 x f x f 14 x f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知函数y f x 的周期为t 10 又f 3 f 1 0 而f 7 0 故f 3 0 故函数y f x 是非奇非偶函数 返回目录 1 由 返回目录 2 由 1 知y f x 的周期为10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有两个解 从而可知函数y f x 在 0 2005 上有402个解 在 2005 0 上有400个解 所以函数y f x 在 2005 2005 上有802个解 返回目录 1 1 单调性首先要求函数的定义域 单调区间是定义域的子区间 2 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 作差f x1 f x2 然后变形 判定f x1