高考数学总复习 第2单元第3节 函数的单调性与最值课件 文 新人教A版.ppt

第三节函数的单调性与最值 基础梳理 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内的某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 f x1 f x2 区间d 局部 定义域 任意 2 如果函数y f x 在某个区间上是 或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的 注意 若一个函数出现两个或两个以上单调区间时 不能用 联结 单调区间 增函数 减函数 3 复合函数的单调性对于函数y f u 和u g x 如果当x a b 时 u m n 且u g x 在区间 a b 上和y f u 在区间 m n 上同时具有单调性 那么复合函数y f g x 在区间 a b 上具有 并且具有这样的规律 见表 单调性 同增异减 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 4 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最大值 2 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最小值 f x m f x0 m f x m f x0 m 基础达标 教材改编题 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 a y x 1b y c y x2 4x 5d y b解析 结合函数的图象可知只有选项b对应的函数满足题意 2 教材改编题 f x 4x2 mx 5在 2 为增函数 f 1 的取值范围是 a 25 b 25 c 25 d 25 c解析 由题意知对称轴 2 即m 16 所以f 1 9 m 25 3 若函数y ax与y 在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 a 增函数b 减函数c 先增后减d 先减后增 b解析 由题意可知a 0 b 0 y ax2 bx的对称轴方程 x 0 又 a 0 y ax2 bx在 0 上为减函数 4 函数f x 在 2 3 上的最小值为 最大值为 解析 f x 在 1 上为减函数 f x 在 2 3 上单调递减 f x min f 3 f x max f 2 1 5 函数的单调递减区间是 3 解析 令u x 3 则在 3 上u为x的减函数 在 3 上u为x的增函数 又 0 1 在定义域内为减函数 在区间 3 上y为x的减函数 经典例题 例1 判断并证明函数f x x 1 的单调性 题型一函数单调性的判断与证明 分析 判断函数的单调性可利用定义法 导数法 图象法或利用已知函数的单调性 但是严格证明需采用定义法或导数法 本题可以先判再证 判断并证明函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 变式1 1 方法一 定义法 设 10 x1x2 1 0 x12 1 x22 1 0 又a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 方法二 导数法 a 0 x2 1 0 x2 1 2 0 f x 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 题型二求函数的单调区间 例2 求函数f x x 的单调区间 分析 利用定义法或导数法 解 方法一 首先确定定义域 x x 0 所以要在 0 和 0 两个区间上分别讨 任取x1 x2 0 且x1 x2 则f x2 f x1 要确定此式的正负只要确定1 的正负即可 这样 又需要判断大于1 还是小于1 由于x1 x2的任意性 考虑到要将 0 分为 0 1 与 1 1 当x1 x2 0 1 时 1 0 f x2 f x1 0 f x 为增函数 同理可求 3 当x1 x2 1 0 时 f x 为减函数 4 当x1 x2 1 时 f x 为增函数 方法二 f x 令f x 0 得x2 1 即x 1或x 1 令f x 0 得x2 1 即 1 x 1 f x 的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 0 和 0 1 求函数y log0 7 x2 3x 2 的单调区间 变式2 1 解析 由x2 3x 2 0 得函数的定义域是 1 2 令t x2 3x 2 则y log0 7t t x2 3x 2 t x2 3x 2的单调减区间是 1 增区间是 2 又y log0 7t在 0 上是减函数 函数y log0 7 x2 3x 2 的单调减区间是 2 单调增区间是 1 例3 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 题型三单调性的应用 分析 根据题目中所给的关系式通过赋值 变形 构造 寻找f x2 与f x1 的关系 解 1 证明 设x1 x2 r 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是r上的增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是r上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 则其解集为 已知偶函数f x 在 0 上为增函数 且f 2 0 解不等式f log2 x2 5x 4 0 变式3 1 f 2 0 原不等式可化为f log2 x2 5x 4 f 2 又 f x 为偶函数 且f x 在 0 上为增函数 f x 在 0 上为减函数且f 2 f 2 0 不等式可化为log2 x2 5x 4 2 或log2 x2 5x 4 2 由 得x2 5x 4 4 x 5或x 0 解析 由 得0 x2 5x 4 x 4或 1 x 由 得原不等式的解集为 例4 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 题型四函数的最值 分析 判断抽象函数单调性的基本方法是定义法 关键是判断f x1 f x2 的符号 往往构造出x1 x2的因式就迎刃而解了 最值的求解就是利用单调性 解 1 证明 设x1 x2 r 且x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上是减函数 2 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 由题意知f 0 f 0 f 0 f 0 0 f 0 f x x f x f x f x f x 故f x 为奇函数 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 易错警示 例 求函数的单调区间 并指出每一个单调区间上的单调性 错解设u x2 4x 3 则在区间 2 上为减函数 在区间 2 上为增函数 解析 由不等式x2 4x 3 0 得函数的定义域为 1 3 设u x2 4x 3 则又u x2 4x 3 x 2 2 1 故由二次函数的性质知 当x 2时 u x2 4x 3为增函数 当x 2时 u x2 4x 3为减函数 因为函数定义域为 1 3 且为减函数 在 1 上为增函数 在 3 上为减函数 链接高考 2010 天津 设函数f x x2 1 对任意x 恒成立 则实