高三数学总复习导与练 第六篇第二节配套课件（教师用） 理.ppt

第2节等差数列 1 等差数列的概念 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 其符号语言为an an 1 d n 2 d为常数 2 等差中项 质疑探究 如何用函数的观点认识等差数列 an 的通项公式an及前n项和sn 提示 1 等差数列 an 的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d d 0时 an是n的一次函数 当d 0时 an 为递增数列 当d 0时 an 为递减数列 当d 0时 an 为常数列 2 教材改编题 设 an 是等差数列 若a2 3 a7 13 则数列 an 的前8项和为 c a 128 b 80 c 64 d 56 3 数列 an 中 a1 15 an 1 an 2 n n 则使该数列的前n项和sn取得最大值的n为 b a 7 b 8 c 9 d 6 解析 由已知 数列 an 为等差数列 其公差为 2 所以an 15 n 1 2 17 2n 由于a8 0 a9 0 且 an 是递减数列 所以前8项和最大 故选b 4 2009年高考山东卷 在等差数列 an 中 a3 7 a5 a2 6 则a6 解析 a5 a2 6 又a5 a2 5 2 d d 2 a6 a3 6 3 d 7 3 2 13 答案 13 等差数列的判定与证明 例1 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q r 且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 思路点拨 1 直接运用定义求解 2 视an 1 an为一整体再用定义证明即可 1 解 an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 所以只有2p 0 即p 0 故当p 0 q r且q为常数时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 而 an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 1 判断或证明一个数列是否为等差数列 通常用定义法 即只需判断an 1 an d 常数 是否成立 除此之外 还有时用等差中项法 即若有2an an 1 an 1 n 2 则 an 为等差数列 2 解答选择题或填空题时 还可利用通项公式或前n项和公式进行直接判断 若通项an为n的一次函数 即an an b a 0 则 an 为等差数列 若前n项和sn an2 bn 则 an 为等差数列 等差数列中的基本运算 例2 2010年高考辽宁卷 设sn为等差数列 an 的前n项和 若s3 3 s6 24 则a9 思路点拨 欲求a9 可由已知列出关于a1和公差d的方程组 求出a1和公差d即可 等差数列性质的应用 例3 2010年高考全国卷 如果等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7等于 a 14 b 21 c 28 d 35 思路点拨 可利用等差中项得出a4 再利用性质a1 a7 a2 a6 2a4求解 解析 a3 a4 a5 12 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 故选c 在等差数列有关计算问题中 结合整体思想 灵活运用性质会获得事半功倍的效果 思路点拨 1 利用点在函数图象上代入即可得an与an 1的关系 易求得an 2 可先求bn 利用累加法或迭代法求得 而后作差比较即可 也可不用求bn而直接利用已知关系式迭代求证即可 1 解 由已知得an 1 an 1 即an 1 an 1 又a1 1 所以数列 an 是以1为首项 公差为1的等差数列 故an 1 n 1 1 n 法二 因为b1 1 bn bn 2 bn 12 bn 1 2n bn 1 2n 1 bn 12 2n 1 bn 1 2n bn 1 2n 2n 1 2n bn 1 2n 1 2n bn 2n 2n 1 2n bn 2n 2n b1 2 2n 0 所以bn bn 2 bn 12 数列与函数 不等式结合命题是高考考查的热点 求解数列问题时要看清函数作为载体的作用 在证明数列中的不等式问题时 要灵活采用证明不等式的常用方法 如比较法 放缩法等 例题 2010年高考福建卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 11 a4 a6 6 则当sn取最小值时 n等于 a 6 b 7 c 8 d 9解析 记 an 的公差为d a1 11 a4 a6 2a1 8d 22 8d 6 d 2 后续有两种解法 法一 注意到a1 110 数列 an 为 11 9 7 5 3 1 1 故s6最小 错源 求sn的最值考虑不周 例题 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn有最大值 并求出它的最大值 选题明细表 一 选择题1 2010年杭州一模 设等差数列 an 的前n项和为sn 则a6 a7 0是s9 s3的 a a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 若数列 an 中 an 1 an 2 且a4 6 则a6等于 d a 4 b 8 c 6 d 10解析 由已知an 1 an 2知an 1 an 2 因此数列 an 是以2为公差的等差数列 所以a6 a4 2d 6 2 2 10 故选d 5 2011年济南一模 已知 an 为等差数列 若a3 a4 a8 9 则s9等于 b a 24 b 27 c 15 d 54 6 2011年安徽 江南十校 联考 已知函数f x 是r上的单调增函数且为奇函数 数列 an 是等差数列 a3 0 则f a1 f a3 f a5 的值 a a 恒为正数 b 恒为负数 c 恒为0 d 可正可负解析 f 0 0 a3 0 f a3 f 0 0 又a1 a5 2a3 0 a1 a5 f a1 f a5 f a5 f a1 f a5 0 故选a 二 填空题7 2009年高考陕西卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a6 s3 12 则 an 的通项an 解析 设 an 的首项为a1 公差为d 则a1 5d 12 a1 a2 a3 12 3a2 12 a2 4 即a1 d 4 又a1 5d 12 解得d 2 a1 2 an a1 n 1 d 2 2 n 1 2n 答案 2n 10 2010年中山纪中 深圳外国语 广州执信三校联考 定义一种运算 n m n am m n n a 0 1 若数列 an n n 满足an n m 当m 2时 求证 数列 an 为等差