高中数学 33一元二次不等式及其解法 精品课件同步导学 新人教B版必修5.ppt

3 3一元二次不等式及其解法 1 已知二次函数f x 的两个零点分别为x1 x2则f x a x x1 x x2 a 0 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当 0时 有实数根x 3 若y x2 2x 3 则当x 时 y 0 当x 时 y 0 当x 时y 0 没有 两个相等 两个不等 1 3 1 3 1 3 1 一元二次不等式的概念含有未知数 且未知数的次数为不等式 叫做一元二次不等式 2 二次函数 二次方程 二次不等式间的关系设f x ax2 bx c a 0 一个 最高 2的整式 3 求解一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的算法过程 设f x a x x1 x x2 x10时 f x 0的解集是什么 f x 0的解集是什么 2 当a 0时 f x 0的解集是什么 f x 0的解集是什么 解不等式 1 x2 8x 15 0 2 x2 2x 3 思路点拨 1 可根据二次函数 二次方程和二次不等式的关系求解 也可以利用二次函数图象求解 还可以对不等式左边进行因式分解 转化为一元一次不等式组求解 2 要先化成ax2 bx c 0 a 0 的形式再求解 解一元二次不等式的基本步骤就是首先判断判别式的符号 求根 然后根据不等号的方向及首项系数的符号写出解集 这是解一元二次不等式的基本方法 应当熟练掌握 1 解下列不等式 1 x2 5x 6 0 2 3x2 5x 2 0 3 3x2 5x 2 0 4 9x2 6x 1 0 5 x2 4x 5 0 解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 a r 思路点拨 先求出二次方程的两根 但两根的大小不确定 因此要分类讨论 才能确定解集 对系数中含有参数的一元二次不等式的求解 一般需从三个方面考虑分类讨论 1 当二次项系数的符号不确定时 按二次项系数的正 负分类 以确定不等式解集形式 是在两根间 还是在两根外 2 当判别式 不确定时要按 0 0 x2进行分类 得出不同的解集 2 若不等式ax2 bx c 0的解集为 求不等式bx2 2ax c 3b 0的解集 解下列不等式 1 x2 1 x2 4 0 2 x2 3x 2 x2 2x 3 0 3 x2 x 1 x2 x 6 x 4 0 思路点拨 将每个不等式的左边在实数范围内因式分解 再把根标在数轴上 画波浪线 在一元高次不等式的求解过程中 应保持各因式中x的系数为正 否则会改变不等号的方向 3 解下列不等式 1 x 1 1 x x 2 0 2 x x 1 2 x 1 3 x 2 0 解析 1 原不等式等价于 x 1 x 2 x 1 0 各因式的根分别为1 2 1 不等式解集为 1 1 2 2 如图所示 各因式的根分别为0 1 1 2 其中1为双重根 1为3重根 1为偶次根 1为奇次根 不等式的解集为 2 1 0 当a为何值时 不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0的解是全体实数 一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系 1 从函数观点看 以二次项系数a 0的二次函数为例 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 即二次函数y ax2 bx c a 0 的值满足y 0时自变量x组成的集合 即二次函数y ax2 bx c a 0 的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合 而一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标 因此要加深理解 一元二次函数 一元二次方程和一元二次不等式 这三个 二次 之间的内在联系 3 当一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为r时 意味着ax2 bx c 0恒成立 由图象可知 关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式 即可 而不必利用最值转化的思路求解 二次项系数为字母时 要分等于零 大于零 小于零三类讨论 利用单调性解题时 抓住使单调性变化的参数值 对应方程的根无法判断大小时 要分类讨论 用不等式性质对不等式变形时 必须具备的变形条件 若判别式含参数 则在确定解的情况时需分 0 0 0三种情况进行讨论 错因 2x 1的符号不能确定 同时约去不等号方向可能改变 另外 不等式两边取倒数 改变不符号方向也不一定是同解变形 1 下列不等式 x2 0 x2 x 15 ax2 2 x3 5x 6 0 mx2 5y 0 ax2 bx c 0 其中一定是一元二次不等式的个数为 a 5b 4c 3d 2 答案