高中数学 112数列的函数特性精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

1 2数列的函数特性 1 了解数列的几种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 2 了解递增数列 递减数列 常数列的概念 3 掌握判断数列增减性的方法 1 判断数列的增减性 重点 2 利用数列的增减性求最大 最小项 难点 3 三种考查方式均有可能出现 属中档题 4 数列也可以看作定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 当自变量从小到大依次取值时 该函数对应的一列函数值就构成一个数列 1 数列的表示方法 1 数列可用图像来表示 在直角坐标系中 以序号为 相应的项为描点画图 其图像是 2 从函数的观点看 数列的表示方法有 横标 纵标 相应的曲线 或直线 上横坐标为正整数的一群孤立的点 列表法 图像法 解析法 2 数列的函数特性一个数列 an 如果从第起 每一项都它前面的一项 即an 1 an 那么这个数列叫做如果从起 每一项都它前面的一项 即an 1 an 那么这个数列叫做如果数列 an 的各项都相等 那么这个数列叫做 二项 大于 递增数列 第二项 小于 递减数列 常数列 答案 c 2 数列 an 的通项公式an 3n2 28n 则数列 an 各项中最小的项是 a 第4项b 第5项c 第6项d 第7项答案 b3 已知an 1 an 3 0 则数列 an 是 数列 填 递增 或 递减 答案 递增 答案 an 1 an 把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1 3 5 7 用列表法表示出来 并在直角坐标系中画出它的图像 根据图像指出它的增减性 先列表 描点得到图像 再观察图像得到数列的增减性 解题过程 列表图像 由图像知 从第2项起 每一项都大于它前面的一项 所以是递增数列 题后感悟 1 数列的表示方法有列表法 图像法 解析法 这同函数的表示方法相一致 2 利用图像可直观判断数列的增减性 1 把数列 n2 9n 用列表法表示出来 并在直角坐标系中画出它的图像 并根据图像指出它的增减性 解析 列表 图像由图像直观地看出它在 1 2 3 4 是递减的 在 5 6 7 8 上是递增的 先将条件看作 关于an的方程 通过解方程求出an 再用作差法或作商法判断增减性 题后感悟 数列 an 增减性的判定方法 1 作差比较法 若an 1 an 0恒成立 则数列 an 是递增数列 若an 1 an 0恒成立 则数列 an 是递减数列 若an 1 an 0恒成立 则数列 an 是常数列 2 作商比较法 由n n 得an 1 an 0 即an 1 an 数列 an 是递增数列 策略点睛 3 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 则 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 写出满足条件的数列的前4项 并归纳出通项公式 1 a1 0 an 1 an 2n 1 n n 2 a1 3 an 1 3an n n 根据递推公式写出前4项 再由这4项寻找规律 归纳出通项公式 解题过程 1 由递推关系 得a1 0 02 a2 a1 2 1 1 1 12 a3 a2 2 2 1 4 22 a4 a3 2 3 1 9 32 观察前4项 可归纳出an n 1 2 2 由递推关系式 得a1 3 31 a2 3a1 9 32 a3 3a2 27 33 a4 3a3 81 34 观察前4项 可归纳出an 3n 题后感悟 递推公式是确定数列的另一种形式 由递推公式求通项公式的基本方法是先求出数列的前几项再进行归纳 4 在数列 an 中 已知a1 2 a2 3 an 2 3an 1 2an n 1 写出数列的前6项并归纳出数列的通项公式 解析 由a1 2 a2 3及an 2 3an 1 2an得 a3 3a2 2a1 5 22 1a4 3a3 2a2 9 23 1a5 3a4 2a3 17 24 1a6 3a5 2a4 33 25 1 由此可归纳an 2n 1 1 1 数列的单调性 1 单调性理解 数列是特殊的函数 特殊在于其定义域为正整数集或它的子集 有些数列不存在单调性如an 1 n或常数数列 有些数列在正整数集上有多个单调情况 如an n 10 2在n 1 2 10 上单调递减 在n 10 11 单调递增 有些数列在正整数集上单调性一定如an 2n 1 2 判断方法 比较an 1与an的大小 即定义法 利用数列的图像直观判断 2 数列的递推关系 1 有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n的函数 往往借助于相邻之间的关系给出 如数列1 1 2 3 5 8 13 此数列的规律可以写成an 2 an 1 an 其中a1 1 a2 1 可以利用以上关系列出整个数列 把此种类型的表示方法称为递推公式法 2 递推公式存在一定的弊端 不能直接写出指定的某一项的值 有时需转化成通项公式 往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到 3 函数与数列的联系与区别一方面 数列是一种特殊的函数 因此在解决数列问题时 要善于利用函数的知识 函数的观点 函数的思想方法来解题 即用共性来解决特殊问题 另一方面 还要注意数列的特殊性 离散型 由于它的定义域是n 或它的子集 1 2 n 因而它的图像是一系列孤立的点 而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线 因此在解决问题时 要充分利用这一特殊性 如研究单调性时 由数列的图像可知 只要这些点每个比它前面相邻的一个高 即an an 1 则图像呈上升趋势 即数列递增 即 an 递增 an 1 an对任意的n n n 都成立 类似地 有 an 递减 an 1 an对任意的n n n 都成立 已知数列 an 是递增数列 且对于任意的n n an n2 n恒成立 求实数 的取值范围 错因 数列是以正整数n 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数 因此它的图像只是一些孤立的点 故 的取值范围为 2 3 3 即 3为所求的范围 正解二 因为数列