高考数学总复习 第九单元 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 分析根据公理及推论作判断 解 中的三点可能共线 故不能确定平面 中的直线可能交于一点 故不能确定平面 中的四边形可能为空间四边形 中的两直线可能异面 应填 规律总结解决此类问题首先要理解平面的基本性质 在判断的过程中若要说明命题不正确 只要举出一个反例即可 若要说明一个命题正确 则要给出证明 即说明问题符合确定平面的公理或判断直线位置关系的条件 变式训练1下列命题 和直线a都相交的两条直线在同一个平面内 三条两两相交的直线在同一个平面内 有三个不同公共点的两个平面重合 两两平行的三条直线确定三个平面 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 中的直线可以为异面直线 中三条直线交于一点时 三条直线可不在同一个平面内 中 若三点共线 则两平面可以相交 两两平行的三条直线 可能共面 故正确的个数为0 答案 a 如图所示 平面abd 平面bcd 直线bd m n p q分别为线段ab bc cd da上的点 四边形mnpq是以pn qm为腰的梯形 求证 三直线bd mq np共点 共点 共线和共面问题 分析先证两直线交于一点 再证该点在第三条直线上 证明 四边形mnpq是梯形 且mq np是腰 直线mq np必相交于某一点o o 直线mq 直线mq 平面abd o 平面abd 同理 o 平面bcd 又 平面abd 平面bcd 直线bd o 直线bd 从而三直线bd mq np共点 规律总结由已知条件 直线mq np必相交于一点o 因此 问题转化为求证点o在直线bd上 由公理3 就是要寻找两个平面 使直线bd是这两个平面的交线 同时点o是这两个平面的公共点即可 三点共线 及 三线共点 的问题都可以转化为证明 点在直线上 的问题 变式训练 已知空间四边形abcd中 e h分别是边ab ad的中点 f g分别是边bc cd上的点 且 求证 三条直线ef gh ac交于一点 证明 e h分别是边ab ad的中点 四边形efgh为梯形 两腰ef gh必交于一点p p 直线ef ef 平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p在平面adc和平面abc的交线ac上 故三条直线ef gh ac交于一点 如图所示 在四边形abcd中 已知ab cd 直线ab bc ad dc分别与平面 相交于点e g h f 求证 e f g h四点必定共线 分析先由公理确定一个平面 再证e f g h四点为两平面的公共点 则四点共线 证明 ab cd ab cd确定一个平面 又 ab e ab e e 即e为平面 与 的一个公共点 同理可证f g h均为平面 与 的公共点 不重合的两个平面有公共点 它们有且只有一条通过公共点的公共直线 e f g h四点必定共线 规律总结在立体几何中 证明若干点共线时 常运用公理3 即先证明这些点都是某两平面的公共点 又由于这些点都在两平面的交线上 因此证明点共线 变式训练 已知 如图所示 abc的三边ab bc ac的延长线分别与平面 相交于e f g 求证 e f g三点共线 证明 ab e bc f 连接e f 则ef ef 平面abc 平面abc ef 又 ac g g g 平面abc 即g为 与平面abc的公共点 g ef 即e f g三点共线 12分 已知 a b c d是不共点且两两相交的四条直线 求证 a b c d共面 分析分有三线共点和无三线共点两种情形 先确定一个平面 然后证明其余直线在该平面内 证明 1 若当四条直线中有三条相交于一点 不妨设a b c相交于一点a 但a d 如图所示 直线d和a确定一个平面 3分又设直线d与a b c分别相交于e f g 则a e f g a e a e a a 同理可证b c a b c d在同一平面 内 6分 2 当四条直线中任何三条都不共点时 如图所示 这四条直线两两相交 则设相交直线a b确定一个平面 设直线c与a b分别交于点h k 则h k 又h k c c 同理可证d a b c d四条直线在同一平面 内 12分 规律总结证明若干条线 或若干个点 共面的一般步骤是 首先根据公理2 由题给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再根据公理1证明其余的线 或点 均在这个平面内 本题最容易忽视 三线共点 这一种情况 因此 在分析题意时 应仔细推敲问题中每一句话的含义 变式训练 已知 如图 a b l a a l b b 求证 a b l三线共面 证明 a b 直线a b确定一个平面 a a a a 同理b 由公理1有 l a b l三线共面于 1 三个公理的理解 1 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系 公理1的条件 线上不重合的两点在平面内 是公理的必要条件 结论是 线上所有点都在面内 这个结论阐述了两个观点 一是整条直线在平面内 二是直线上所有点在平面内 其作用是 可判定直线是否在平面内 点是否在平面内 2 公理2主要用来确定一个平面 或证明 点线共面 3 公理3的内容反映了平面与平面的位置关系 它的条件简而言之是 两面共一点 结论是 两面共一线 且过这一点 线唯一 对于本公理应强调 对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相交的位置关系 交集是一条直线 其作用是 其一 它是判定两个平面是否相交的依据 只要两个平面有一个公共点 就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线 其二 它可以判定点在直线上 点是两个平面的公共点 线是这两个平面的公共交线 则这点在交线上 2 公理2的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 其应用是 公理2和三个推论是确定平面的理论依据 也是将空间问题转化为平面问题的依据之一 3 关于异面直线 1 异面直线是既不平行又不相交的两条直线 2 异面直线所成角的判断和求解平移法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 然后通过解三角形去求得 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 相交或异面 错解选b 错解分析本题中没有限制交点的个数 解答时只考虑到有四个交