高三数学总复习导与练 第十篇 第2节配套课件（教师用） 理.ppt

第2节排列与组合 对应学生用书第150页 对应学生用书第150页 排列与组合 质疑探究 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题 提示 区分某一问题是排列问题还是组合问题 关键是看所选出的元素与顺序是否有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 否则是组合问题 1 数列 an 共有六项 其中四项为1 其余两项各不相同 则满足上述条件的数列 an 共有 a a 30个 b 31个 c 60个 d 61个 解析 在数列的六项中 只要考虑两个非1的项的位置 即得不同数列 共有a62 30个不同的数列 2 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 c a 85 b 56 c 49 d 28 解析 分两类计算 c22c71 c21c72 49 3 2010年陕西质检 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙两人所选的课程中有1门相同的选法有 d a 6种 b 12种 c 16种 d 24种 解析 第一步 选出1门作为甲 乙两人相同的选修课程 不同的选择方法有c41种 第二步 再从剩下的3门中任选2门分给甲 乙两人 不同的选择方法有a32种 由分步乘法计数原理可得 不同的选法共有c41a32 24种 故选d 4 c3n38 n c21 n3n的值为 变式探究21 用1 2 3 4 5 6组成无重复数字的四位数 然后把它们从小到大排成一个数列 1 3145是这个数列的第几项 2 这个数列的第200项是多少 解 1 1开头的四位数有a53个2开头的四位数有a53个312开头的四位数有3个3145是314开头的第2个数 3145是a53 a53 3 2 125项 2 1或2或3开头的四位数各有a53个 共3 a53 18041开头的四位数有a42 12个 42开头的四位数有a42 12个 180 24 204 去掉最后4项 4265 4263 4261 4256 第200项是4253 思路点拨 解组合问题时 常从特殊元素入手 解 1 一名女生 四名男生 故共有c51 c84 350 种 2 将两队长作为一类 其他11人作为一类 故共有c22 c113 165 种 3 至少有一名队长含有两类 只有一名队长和两名队长 故共有 c21 c114 c22 c113 825 种 或采用排除法 c135 c115 825 种 4 至多有两名女生含有三类 有两名女生 只有一名女生 没有女生 故选法为 c52 c83 c51 c84 c85 966 种 5 分两类 第一类女队长当选 c124 第二类女队长不当选 c41 c73 c42 c72 c43 c71 c44 故选法共有 c124 c41 c73 c42 c72 c43 c71 c44 790 种 思路点拨 注意4个小题的区别 相应进行模式识别 例题 把20个相同的球全部装入编号分别为1 2 3的三个盒子中 要求每个盒子中的球数不小于其编号数 问有多少种不同的装法 解 运用隔板法必须同时具备以下三个条件 所有元素必须相同 所有元素必须分完 每组至少有一个元素 此例有限制条件 不能直接运用隔板法 但可转化为隔板问题 向1 2 3号三个盒子中分别装入0 1 2个球后还剩下17个球 然后再把这17个小球分成3份 每份至少一球 运用隔板法 共有c162 120种不同的分法 错源一 没认清事件本质 盲目套用排列 组合概念 例1 在大桥上有12个固定的哨位 但平时只派9人执勤 规定两端的哨位必须有人执勤 也不能让相邻哨位都空岗 则不同的排岗方法有 a c83种 b a83种 c c83a99种 d a93种 错解 将3个空岗插入9个实岗的8个空隙之间 有c83种插法 由于9个实岗的执勤人员可以交换位置 有a99种交换方法 因此一共有c83 a99种排岗方法 故应选c 错解分析 没有认清 空岗 实岗 的相对位置是区别不同排岗的关键所在 而错误地去考虑执勤人员的顺序 事件概念不清而导致误解 正解 将3个空岗插入9个实岗的8个空隙之间 有c83种插法 每一种插法都对应着一种排岗方法 因此一共有c83种排岗方法 故应选a 错源二 粗枝大叶 错解题意 例2 现有8个人排成一排照相 其中甲 乙 丙三人不能相邻的排法共有多少种 错解 除了甲 乙 丙三人以外的5人先排 有a55种排法 5人排好后产生6个空档 插入甲 乙 丙三人有a63种方法 这样共有a63 a55 14400种排法 错解分析 错解中没有区分 三人不能相邻 与 二人不能相邻 的区别 二人不相邻与二人互不相邻是相同的意思 但三人不相邻与三人互不相邻是不同的 甲 乙 丙三人不相邻 是指甲 乙 丙三人不能同时相邻 但允许其中有两人相邻 由于思维定势 不经意的把题设条件改为 甲 乙 丙三人互不相邻 后得出错误结果 正解 在8个人全排列的方法数中减去甲 乙 丙全相邻的方法数 就是甲 乙 丙三人不相邻的方法数 把三个人看作一个整体和另5个人进行全排列共有a66种排法 而甲 乙 丙三人的顺序可以任意换共有a33种排法 因而符合题意的排法共有a88 a66 a33 40320 4320 36000种 选题明细表 一 选择题1 2010年高考北京卷 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 a a a88a92 b a88c92 c a88a72 d a88c72 解析 可先排8名学生 有a88种 由于2位老师不相邻可采用插空方法 有a92种 共有a88a92种 故选a 2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号 则不同的放球方法有 a a 10种 b 24种 c 36种 d 52种 解析 在编号为1和2的两个盒子里 分别可放1 3个或2 2个小球 由分类计数原理不同的放球方法的种数是c41c33 c42c22 10 故选a 3 2010年高考全国卷 某校开设a类选修课3门 b类选修课4门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 a a 30种 b 35种 c 42种 d 48种 解析 法一 分类讨论 要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法有 a类2门 b类1门或a类1门 b类2门 即c32c41 c31c42 30 法二 任选3门有c73种选法 3门全为a类的或b类的有c43 c33 5 所以两类课程中各至少选一门的选法有c73 c43 c33 30 故选a 4 2010年温州五校模拟 上海世博会某个展区共有6个展馆 分布在一条直线上 现要在展馆之间安排3名防暴警察 要求相邻的两个展馆之间至多安排一名防暴警察 则不同的安排方法有多少种 d a 10 b 24 c 32 d 60解析 6个展馆之间有5个空 现在要插入3个警察 共有a53 60种情况 故选d 5 2010年高考湖北卷 现安排甲 乙 丙 丁 戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会开车但能从事其他三项工作 丙 丁 戊都能胜任四项工作 则不同安排方案的种数是 b a 152 b 126 c 90 d 54 解析 考虑特殊元素 位置 优先安排法 第一类 在丙 丁 戊中任选一位担任司机工作时有c31c42a33 108 第二类 在丙 丁 戊中任选两位担任司机工作时 有c32a33 18 不同安排方案的种数是108 18 126 故选b 二 填空题6 从0 1 2 3 4 5中任取3个数字 组成没有重复数字的三位数 其中能被5整除的三位数共有 个 用数字作答 解析 能被5整除的三位数分为两类 0在个位 有a52个 5在个位 又分为含有数字0和不含有数字0两类 5在个位含有数字0的有a41个 5在个位不含有数字0的有a42个 故共有符合条件的三位数a52 a41 a42 36 个 答案 36 7 2010年嘉兴二模 有一类四位数 满足 a b c d 1 2 3 4 a b b c c d d a a b c d中至少有两个数字是相同的 a是a b c d中最小的 则这样的不同四位数有 个 解析 分两类 第一类 从4个中挑2个有c42 6种 如挑了 1 2 再排只有一种情况 1212 共6 1 6个 第二类 从4个中挑3个有c43 4种 如挑了 1 2 3 再排有四种情况 1213 1232 1312 1323 共4 4 16个 综上共6 16 22个 答案 22 解 1 6个小扇形分别着上6种不同的颜色 共有a66 720种着色方法 2 6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有c62c65a55种不同的方法 其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有6c65a55 因此满足条件的着色方法共有c62c65a55 6c65a55 6480种着色方法 9 有编号分别为1 2 3 4的四个盒子和四个小球 把小球全部放入盒子 问 1 共有多少种放法 2 恰有一个空盒 有多少种放法 3 恰有2个盒子内不放球 有多少种放法 解 1 1号小球可放入任意一个盒子内 有4种放法 同理 2 3 4号小球也各有4种放法 故共有44 256种放法 2 恰有一个空盒 则这4个盒子中只有3个盒子内有小球 且小球数只能是1 1 2 先从4个小球中任选2个放在一起 有c42种方法 然后与其余2个小球看成三组 分别放入4个盒子中的3个盒子中 有a43种放法 由分步乘法计数原理知共有c42a43 144种不同的放法 3 恰有2个盒子内不放球 也就是把4个小球只放入2个盒子内 有两类放法 一个盒子内放1个球 另一个盒子内放3个球 先把小球分为两组 一组1个 另一组3个 有c41种分法 再放到2个盒子内 有a42种放法 共有c41a42种方法 2个盒子内各放2个小球 先从4个盒子中选出2个盒子 有c42种选法 然后把4个小球平均分成2组 每组2个 放入2个盒子内 也有c42种选法 共有c42c42种方法 由分类加法计数原理 知共有c41a42 c42c42 84种不同的放法 10 设a1 a2 an是1 2 n的一个排列 把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数 i 1 2 n 如 在排列6 4 5 3 2 1中 5的顺序数为1 3的顺序数为0 则在1至8这八个数字构成的全排列中 同时满足8的顺序数为2 7的顺序数为3 5的顺序数为3的不同排列的种数为 c