18.1勾股定理.docx

18.1.2 勾股定理的应用题号一二三总分得分一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH等于（）A. 245B. 125C. 5D. 42. 如图在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么SACF为（）A. 12B. 15C. 6D. 103. 如图，已知RtABC中，ACB=90，CD是高，A=30，BD=2cm，求AB的长（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm4. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，ACAB，AB=5，且AC：BD=2：3，那么AC的长为（）A. 25B. 5C. 3D. 45. 正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，按此规律继续下去，则S9的值为() A. (12)9B. (12)8C. (22)9D. (22)86. 如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在等边ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CMAD，垂足为M，下列结论不正确的是（）A. AD=CEB. MF=12CFC. BEC=CDAD. AM=CM二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）8. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF=45，将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM若AE=1，则FM的长为_9. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为_10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_11. 如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合.若BE=3，则折痕AE的长为_12. 如图，ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= _ s时，PBQ为直角三角形13. 如图，某会展中心在会展期间准备在高5m、长13m、宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要_元钱14. 如图，O 的半径为1，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B连接OA，OB，AB，PO，若APB=60，则PAB的周长为_三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）15. 如图，ABC中，AB=BC，ABC=45，BEAC于点E，ADBC于点D，BE与AD相交于F （1）求证：BF=AC；（2）若CD=3，求AF的长16. 已知：如图，ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过25秒时，求PBQ的面积；（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由17. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长18. 如图，D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点F，若FA=FC （1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若AEEC，EF=EC=1，求四边形ADCE的面积19. ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC = EDF = 90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q. (1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ 时,求证: BPECQE；(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证:BPECEQ; 并求当BP=2, CQ =9时BC的长.20. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为22？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=是解此题的关键根据菱形性质求出AO=4，OB=3，AOB=90，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，AO=OC，BO=OD，ACBD，AC=8，DB=6，AO=4，OB=3，AOB=90，由勾股定理得：，S菱形ABCD=，故选A2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质，三角形的面积的有关知识，由矩形的性质得出B=90，ABCD，得出DCA=BAC，由折叠的性质得出ACDACE，得出DCA=ECA，因此BAC=ECA，证出AF=CF，设AF=CF=x，则BF=8-x，根据勾股定理得出方程：42+（8-x）2=x2，解方程求出AF，即可得出结果【解答】解：四边形ABCD是矩形，B=90，ABCD，DCA=BAC，矩形沿AC折叠，点D落在点E处，ACDACE，DCA=ECA，BAC=ECA，AF=CF，设AF=CF=x，则BF=8-x，在RtBCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2=CF2，即42+（8-x）2=x2，解得：x=5，AF=5，SACF=AFBC=54=10故选D.3.【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BCD=30再根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，从而求出AB即可【解答】解：ACB=90，A=30，B=60，又CD是高，BCD=30，BC=2BD=4cm，A=30，AB=2BC=8cm，故选C4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型根据平行四边形的性质可知OA=OC和OB=OD，由AC：BD=2：3推出OA：OB=2：3，设OA=2m，则OB=3m，在RtAOB中利用勾股定理即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，AC：BD=2：3，OA：OB=2：3，设OA=2m，BO=3m，ACAB，BAO=90，OB2=AB2+OA2，9m2=5+4m2，m=1，m0，m=1，AC=2OA=4故选D5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn=（）n-1本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=（）n-1，依此规律即可得出结论【解答】解：在图中标上字母E，如图所示正方形ABCD的边长为1，CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1观察，发现规律：S1=12=1，S2=S1=，S3=S2=，S4=S3=，Sn=（）n-1当n=9时，S9=（）9-1=（）8，故选B.6.【答案】D【解析】解：四边形ADEF为正方形，FAD=90，AD=AF=EF，CAD+FAG=90，FGCA，GAF+AFG=90，CAD=AFG，在FGA和ACD中，FGAACD（AAS），AC=FG，正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90，FGCA，FGBC，四边形CBFG是矩形，CBF=90，SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；CA=CB，C=CBF=90，ABC=ABF=45，正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，正确；故选：D由正方形的性质得出FAD=90，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，由AAS证明FGAACD，得出AC=FG，正确；证明四边形CBFG是矩形，得出SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出ABC=ABF=45，正确；证出ACDFEQ，得出对应边成比例，得出DFE=AD2=FQAC，正确本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键7.【答案】D【解析】解：A正确；理由如下：ABC是等边三角形，BAC=B=60，AB=AC又AE=BD在AEC与BDA中，AECBDA（SAS），AD=CE；B正确；理由如下：AECBDA，BAD=ACE，AFE=ACE+CAD=BAD+CAD=BAC=60，CFM=AFE=60，CMAD，在RtCFM中，FCM=30，MF=CF；C正确；理由如下：BEC=BAD+AFE，AFE=60，BEC=BAD+AFE=BAD+60，CDA=BAD+CBA=BAD+60，BEC=CDA；D不正确；理由如下：要使AM=CM，则必须使DAC=45，由已知条件知DAC的度数为大于0小于60均可，AM=CM不成立；故选：D由等边三角形的性质和已知条件证出AECBDA，即可得出A正确；由全等三角形的性质得出BAD=ACE，求出CFM=AFE=60，得出FCM=30，即可得出B正确；由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；D不正确本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键8.【答案】52【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理有关知识，由旋转可得DE=DM，EDM为直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF为45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长.【解答】解：DAE逆时针旋转90得到DCM，FCM=FCD+DCM=180，F、C、M三点共线，DE=DM，EDM=90，EDF+FDM=90，EDF=45，FDM=EDF=45，在DEF和DMF中，DEFDMF（SAS），EF=MF，设EF=MF=x，AE=CM=1，且BC=3，BM=BC+CM=3+1=4，BF=BM-MF=BM-EF=4-x，EB=AB-AE=3-1=2，在RtEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2，解得：x=，FM=故答案为.9.【答案】24【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先连接AB，求出AB的长，再判断出ABC的形状即可解答巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解，综合运用勾股定理及其逆定理.【解答】解：如下图所示，连接AB，因为ABD是直角三角形，所以，因为，所以ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即.故答案为24.10.【答案】8【解析】解：连接AD交EF与点M，连结AMABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=BCAD=4AD=12，解得AD=6，EF是线段AB的垂直平分线，AM=BMBM+MD=MD+AM当点M位于点M处时，MB+MD有最小值，最小值6BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8连接AD交EF与点M，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键11.【答案】6【解析】【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出ACE=30，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，AE=CE，ACB=30，在RtOEC中，OCE=30，OE=EC=BE，BE=3，OE=3，EC=6，则AE=6，故答案为6.12.【答案】32或125【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，30角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键先分别表示出BP，BQ的值，当BQP和BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论【解答】解：ABC是等边三角形，AB=BC=6cm，A=B=C=60，当PQB=90时，BPQ=30，BP=2BQBP=6-2t，BQ=t，6-2t=2t，解得t=；当QPB=90时，PQB=30，BQ=2PB，t=2（6-2t），解得t=答：或秒时，BPQ是直角三角形故答案为或13.【答案】612【解析】解：由勾股定理，AC=12（m）则地毯总长为12+5=17（m），则地毯的总面积为172=34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要3418=612元故答案为：612地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键14.【答案】33【解析】解：PA、PB是半径为1的O的两条切线，OAPA，OBPB，OP平分APB，PA=PB，而APB=60，APO=30，PAB是等边三角形，PA=AO=，PAB的周长=故答案为：3根据切线的性质得到OAPA，OBPB，OP平分APB，PA=PB，推出PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键15.【答案】（1）证明：ABC=45，ADBD，BAD=45，AD=BD，BFD=AFE，AFE+CAD=90，CAD+ACD=90，BFD=ACD，在BDF和ACD中，BFD=ACDBDF=ADCBD=AD，BDFADC（AAS），BF=AC；（2）解：连接CF，BDFADC，DF=DC，DFC是等腰直角三角形CD=3，CF=2CD=32，AB=BC，BEAC，AE=EC，BE是AC的垂直平分线AF=CF，AF=32.【解析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，等腰三角形底边三线合一的性质，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理等有关知识.本题中求证BDFACD是解题的关键（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD=BD，即可求证BDFADC，即可解题；（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF=DC，得到DFC是等腰直角三角形推出AE=EC，BE是AC的垂直平分线于是得到结论.16.【答案】解：（1）经过25秒时，AP=25cm，BQ=25cm，ABC是边长为3cm的等边三角形，AB=BC=3cm，B=60，BP=3-25=135cm，PBQ的面积=12BPBQsinB=121352532=13350；（2）设经过t秒PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，ABC中，AB=BC=3cm，B=60，BP=（3-t）cm，PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若PBQ是直角三角形，则BQP=90或BPQ=90，当BQP=90时，BQ=12BP，即t=12（3-t），t=1（秒），当BPQ=90时，BP=12BQ，3-t=12t，t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，PBQ是直角三角形；（3）过P作PMBC于M， BPM中，sinB=PMPB，PM=PBsinB=32（3-t），SPBQ=12BQPM=12t32（3-t），y=SABC-SPBQ=123232-12t32（3-t）=34t2-334t+934，y与t的关系式为y=34t2-334t+934，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是ABC面积的23，则S四边形APQC=23SABC，34t2-334t+934=23123232，t2-3t+3=0，（-3）2-4130，方程无解，无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的23.【解析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键.（1）根据路程=速度时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；（2）BPQ=90；BQP=90然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和B的度数进行求解即可（3）本题可先用ABC的面积-PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可.17.【答案】（1）证明：PQ垂直平分BE，QB=QE，OB=OE，四边形ABCD是矩形，ADBC，PEO=QBO，在BOQ与EOP中，PEO=QBOOB=OEPOE=QOB，BOQEOP（ASA），PE=QB，又ADBC，四边形BPEQ是平行四边形，又QB=QE，四边形BPEQ是菱形；（2）解：O，F分别为PQ，AB的中点，AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在RtABE中，62+x2=（18-x）2，解得x=8，BE=18-x=10，OB=12BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在RtABP中，62+（8-y）2=y2，解得y=254，在RtBOP中，PO=(254)252=154，PQ=2PO=152【解析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明BOQEOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在RtABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在RtABP中，根据勾股定理可得62+（8-y）2=y2，解得y=，在RtBOP中，根据勾股定理可得PO=，由PQ=2PO即可求解18.【答案】解：（1）证明：CEAB，BAC=ECA，在DAF和ECF中，DAF=ECFFA=FCAFD=CFE，DAFECF（ASA），CE=AD，四边形ADCE是平行四边形；（2）AEEC，四边形ADCE是平行四边形，四边形ADCE是矩形，在RtAEC中，F为AC的中点，AC=2EF=2，AE2=AC2-EC2=22-12=3，AE=3，四边形ADCE的面积=AEEC=3【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，得出DAFECF 是解题关键（1）首先利用ASA得出DAFECF，进而利用全等三角形的性质得出CE=AD，即可得出四边形ADCE是平行四边形；（2）由AEEC，四边形ADCE是平行四边形，可推出四边形ADCE是矩形，由F为AC的中点，求出AC，根据勾股定理即可求得AE，由矩形面积公式即可求得结论19.【答案】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中点，BE=CE，在BPE和CQE中，BE=CEB=CBP=CQ，BPECQE（SAS）；（2）解：连接PQ，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，BPCE=BECQ，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=32，BC=62【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度较大，注意数形结合思想的应用属难题.（1）由ABC是等腰直角三角形，易得B=C=45，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：BPEC