高考数学一轮复习 导数及其应用专题训练(1).doc

导数及其应用一、基础知识要记牢(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二、经典例题领悟好例1(1)(2013湖北荆门调研)曲线y在点(1,1)处的切线方程为_(2)(2013广东高考)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析(1)点(1,1)在曲线y上，y，在点(1,1)处的切线斜率为y|x11，所求切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，a.答案(1)xy20(2)解决函数切线的相关问题，需抓住以下关键点：(1)切点是交点.(2)在切点处的导数是切线的斜率.因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组).(3)求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异.过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上；在点p处的切线，点p是切点.三、预测押题不能少1已知偶函数f(x)在r上的任一取值都有导数，且f(1)1，f(x2)f(x2)，则曲线yf(x)在x5处的切线斜率为()a2b2c1 d1解析：选d由f(x2)f(x2)，得f(x4)f(x)，可知函数为周期函数，且周期为4.又函数f(x)为偶函数，所以f(x2)f(x2)f(2x) ，即函数的对称轴为x2，所以f(5)f(3)f(1)，所以函数在x5处的切线的斜率kf(5)f(1)1.利用导数研究函数的单调性一、基础知识要记牢函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0或f(x)0时，f(x)的单调递减区间是(3m，m)，若f(x)在区间(2,3)上是减函数，则解得m3；当m0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得二、经典例题领悟好例3(2013福建高考节选)已知函数f(x)x1(ar，e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的极值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值解(1)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值(2)当a1时，f(x)x1.直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx1x1在r上没有实数解，即关于x的方程：(k1)x(*)在r上没有实数解当k1时，方程(*)可化为0，在r上没有实数解当k1时，方程(*)化为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，同时当x趋于时，g(x)趋于，从而g(x)的取值范围为.所以当时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1e,1)综合，得k的最大值为1.(1)求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤：第一步：求导数f(x)；第二步：求方程f(x)0的根x0；第三步：检查f(x)在xx0左右的符号；左正右负f(x)在xx0处取极大值；左负右正f(x)在xx0处取极小值.(2)求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤：第一步：求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.三、预测押题不能少3已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图像在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解：(1)f(x)a，由题意可知f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0)，由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a0)(1)当x0时，求证：f(x)1a；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的范围(1)结论(x)f(x)1a(x)(x)最小值结论(2)条件 a g(x) g(x)h(x)ln x h(x)h(x)h(1)0g(x)0g(x)0)，则(x).令(x)0，则x1，易知(x)在x1处取到最小值，故(x)(1)0，即f(x)1a.(2)由f(x)x得aln x1x，即a.令g(x)(1xe)，则g(x).令h(x)ln x(1x0，故h(x)在定义域上单调递增，所以h(x)h(1)0.因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在定义域上单调递增，则g(x)g(e)e1，即，再构造函数g(x)，求其最值确定a的范围.(2)导数综合应用题型中应用函数思想的常见类型：构造新函数求最值解决不等式恒成立问题；构造新函数利用性质解决不等式证明问题；构造新函数求零点解决方程解的问题.二、预测押题不能少1已知函数f(x)ex(x2axa)，其中a是常数(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围解：(1)由f(x)ex(x2axa)可得，f(x)exx2(a2)x当a1时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)令f(x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0.当(a2)0，即a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)在0，)上是增函数，所以方程f(x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根当(a2)0，即aa，又f(0)a，所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.定积分与概率的交汇一、经典例题领悟好例2(2012福建高考)如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点p，则点p恰好取自阴影部分的概率为()a.b.c.d.解析法一：曲线y与直线x1及x轴所围成的曲边图形的面积sdxx，又saob，阴影部分的面积为s，由几何概型可知，点p取自阴影部分的概率为p.法二：s阴影(x)dx，s正方形oabc1，点p取自阴影部分的概率为p.答案c定积分的考查往往是确定被积函数直接求阴影部分的面积，而几何概型的考查也是两部分面积或长度等的比值.本题却把定积分求面积与几何概型相结合，突破了二者之间的隔膜，建立了联系，新颖、独特，令人耳目一新，并且难度并没有因此而加大，实属好题.二、预测押题不能少2已知(x，y)|xy6，x0，y0，a(x，y)|x4，y0，xy20，若向区域内随机投一点p，则点p落入区域a的概率是_解析：画出草图，可知所求概率p.答案：导数应用中的创新问题对导数考查其综合应用，命题综合性较强，试题不断追求创新，如2013年安徽卷以下面这个例题从创新的角度考查导数综合应用一、经典例题领悟好例3(2013安徽高考)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间ix|f(x)0(1)求i的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求i长度的最小值解(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1x0)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取得而1，故d(1k)0，b0，已知函数f(x).(1)当ab时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明ff；a，b的几何平均数记为g.称为a，b的调和平均数，记为h.若hf(x)g，求x的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x).当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；当ab时，f(x)0，f0，f0.故f(1)fab2，即f(1)f2.(*)所以f(1)，f，f成等比数列因为，即f(1)f.由(*)得ff.由知fh，fg.故由hf(x)g，得ff(x)f.(*)当ab时，ff(x)fa.这时，x的取值范围为(0，)；当ab时，01，从而，由f(x)在(0，)上单调递增与(*)式，得x，即x的取值范围为；当a1，从而，由f(x)在(0，)上单调递减与(*)式，得x，即x的取值范围为.综上，当ab时，x的取值范围为(0，)；当ab时，x的取值范围为；当a0，g(x)6x22x1中200恒成立，故f(x)0恒成立即f(x)在定义域上单调递增，无极值点2(2013广州调研)已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是()a1，) b(，1c1，) d(，1解析：选a令yex(1x)0，又ex0，1x0，x1.3(2013荆州市质检)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导数是f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()ay2x by3xcy3x dy4x解析：选a由已知得f(x)3x22axa2为偶函数，a0，f(x)x32x，f(x)3x22.又f(0)2，f(0)0，yf(x)在原点处的切线方程为y2x.4(2013北京高考)直线l过抛物线c：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与c所围成的图形的面积等于()a. b2c. d. 解析：选c由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2dx2.5(2013天津质检)设函数f(x)在r上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，下面不等式在r上恒成立的是()af(x)0 bf(x)x df(x)0，f(x)ln x12ax.由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，显然a0时不合题意，必有a0.令g(x)ln x12ax，g(x)2a，令g(x)0，得x，故g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)在x处取得极大值，即fln0，所以0a0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值11(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为v立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而v(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故v(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，v(r)0，函数f(x)ln xax2的单调递增区间为(0，)；当a0时，若f(x)0，有0x，若f(x)，函数f(x)ln xax2的单调递减区间为，单调递增区间为.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：当a时，f(x)，当x(0,2)时函数f(x)是增函数，当x(2，)时函数f(x)是减函数，函数f(x)的最大值为f(2)ln 2.f(1)，在(2，)上取xe4，计算得f(e4)4428f(1)，f(e4)f(1)f(2)x(0,2)时函数f(x)是增函数，x(2，)时函数f(x)是减函数，存在x0(2，e4)，使f(x0)f(1)，存在x0(2，)，使f(x0)f(1)b组(强化选做)1(2013广州一模)设f(x)在(a，b)内可导，则f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递减的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a由f(x)0能够推出f(x)在(a，b)内单调递减，但由f(x)在(a，b)内单调递减不能推出f(x)0，f(x)0，则函数yxf(x)()a存在极大值 b存在极小值c是增函数 d是减函数解析：选cyf(x)xf(x)，而函数f(x)的定义域为(0，)且f(x)0，f(x)0，y0在(0，)上恒成立因此yxf(x)在(0，)上是增函数3已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于()a1 b2c0 d.解析：选b函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()a125ln 5 b825lnc425ln 5 d450ln 2解析：选c令v(t)0，得73t0，解得t4或t(舍去)，所以sv(t)dtdt744225ln 5425 ln 5.5(2013吉林质检)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为yf(x)的图像的是()解析：选d若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得ac.选项a、b的函数为f(x)a(x1)2，其中a0，则f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项c中，对称轴x0，且开口向下，a0，f(1)2ab0，也满足条件；选项d中，对称轴x0，b2a，f(1)2abf，排除a.取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除b；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除c.7(2013河北质检)已知函数f(x)则f(x)dx_.解析：解析：由已知得 f(x)dxsin xdxx2dxcos x1.答案：18已知函数f(x)aln xx2(a0)，若对定义域内的任意x，f(x)2恒成立，则a的取值范围是_解析：由题意得f(x)x2，当且仅当x，即x时取等号，f(x)2，只要f(x)min2即可，即22，解得a1.答案：1，)9(2013浙江金华十校模拟)设函数yf(x)，xr的导函数为f(x)，且f(x)f(x)，f(x)f(x)则下列三个数：ef(2)，f(3)，e2f(1)从小到大依次排列为_(e为自然对数的底数)解析：构造函数g(x)，g(x)g(2)g(3)，即，得e2f(1)ef(2)，e3f(2)e2f(3)，即ef(2)f(3)又f(1)f(1)，所以f(3)ef(2)e2f(1)答案：f(3)ef(2)1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)11(2013浙江十校联考)已知函数f(x)ln xax(ar)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x24x