高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题专题训练(1).docVIP

圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题以直线与圆锥曲线为载体，与函数、方程、不等式、向量等知识结合，考查最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等，试题属于中、高档题，考查的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法一、经典例题领悟好例1(2013全国大纲卷)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为3，直线y2与c的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过f2的直线l与c的左、右两支分别交于a，b两点，且|af1|bf1|，证明：|af2|，|ab|，|bf2|成等比数列解(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以c的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x .由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)证明：由(1)知，f1(3,0)，f2(3,0)，c的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2 ，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|af1| (3x11)，|bf1| 3x21.由|af1|bf1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|af2| 13x1，|bf2| 3x21，故|ab|af2|bf2|23(x1x2)4，|af2|bf2|3(x1x2)9x1x2116.因而|af2|bf2|ab|2，所以|af2|，|ab|，|bf2|成等比数列(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.二、预测押题不能少1已知椭圆x21(0b0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线ab与p能否相切？证明你的结论解：(1)由已知得f，b，c的坐标分别为(c,0)，(0，b)，(1,0)，则fc，bc的中垂线分别为x，y.联立方程，解得由mn0，得bbcb2c0，即(1b)(bc)0，bc.从而b2c2，即有a22c2，e20，0e.(2)直线ab与p不能相切证明如下：由kabb，kpb.如果直线ab与p相切，则b1，解得c0或c2，与0c0)，则1，所以抛物线c的方程为x24y.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点m的横坐标xm.同理点n的横坐标xn.所以|mn|xmxn|8.令4k3t，t0，则k.当t0时，|mn|2 2.当t0)相交于b，c两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线g的方程；(2)设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设b(x1，y1)，c(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知4，得y24y1，由韦达定理及p0可得y11，y24，p2，抛物线g的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，bc中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，bc的中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.圆锥曲线中的定点、定值问题一、经典例题领悟好例3(2013山东卷改编)椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.(1)求椭圆c的方程；(2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值(1)垂直于x的直线方程xcy1求出a，b.(2)p(x0，y0)求出k1，k2写出直线的方程关于k的一元二次方程0k的值为定值解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆c的方程为y21.(2)设p(x0，y0)(y00)又f1(，0)，f2(，0)，知，直线l的方程为yy0k(xx0)联立整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由题意得0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.所以8.因此为定值，这个定值为8.(1)定值问题的求解策略：在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.(2)定点问题的求解策略：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.二、预测押题不能少3.已知点e(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过e作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点a，b，c，d，且m，n分别是ab，cd的中点(1)若m1，k1k21，求emn面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线mn过定点解：(1)当m1时，e为抛物线y24x的焦点，k1k21，abcd.设ab的方程为yk1(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24.m，m，同理，点n(2k1，2k1)，semn|em|en|224，当且仅当k，即k11时，emn的面积取最小值4.(2)证明：设ab的方程为yk1(xm)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k1y24y4k1m0，y1y2，y1y24m.m，m，同理，点n，kmnk1k2.mn的方程为yk1k2，即yk1k2(xm)2，直线mn恒过定点(m,2).圆锥曲线中的存在性问题一、经典例题领悟好例4(2013安徽高考)已知椭圆c：1(ab0)的焦距为4，且过点p(，)(1)求椭圆c的方程；(2)设q(x0，y0)(x0y00)为椭圆c上一点过点q作x轴的垂线，垂足为e.取点a(0,2)，连接ae.过点a作ae的垂线交x轴于点 d点g是点d关于y轴的对称点，作直线qg.问这样作出的直线qg是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由解(1)因为焦距为4，所以a2b24.又因为椭圆c过点p(，)，所以1，故a28，b24.从而椭圆c的方程为1.(2)一定有唯一的公共点理由：由题意，知e点坐标为(x0,0)设d(xd,0)，则(x0，2)，(xd，2)由adae知，0，即xdx080.由于x0y00，故xd.因为点g是点d关于y轴的对称点，所以点g.故直线qg的斜率kqg.又因q(x0，y0)在椭圆c上，所以x2y8.从而kqg.故直线qg的方程为y.将代入椭圆c方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0，解得xx0，yy0，即直线qg与椭圆c一定有唯一的公共点(1)解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.当条件和结论不唯一时，要分类讨论.当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.(2)存在性问题的解题步骤：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.得出结论.二、预测押题不能少4.已知焦点在x轴上的椭圆c为1，f1、f2分别是椭圆c的左、右焦点，离心率e.(1)求椭圆c的方程；(2)设点q的坐标为(1,0)，椭圆上是否存在一点p，使得直线pf1，pf2都与以q为圆心的一个圆相切？若存在，求出p点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题可知：解得所以b2a2c24.故椭圆c的方程为1.(2)假设椭圆上存在一点p(x0，y0)，使得直线pf1，pf2都与以q为圆心的一个圆相切，则q到直线pf1，pf2的距离相等f1(2,0)，f2(2,0)，直线pf1的方程为(x02)yy0x2y00，直线pf2的方程为(x02)yy0x2y00.，化简整理得：x5x04y0.点p在椭圆上，x2y8.由以上两式解得：x02或x08(舍去)，y0或y0，此时相切的圆的半径r1.椭圆上存在点p，其坐标为(2，)或(2，)，使得直线pf1，pf2都与以q为圆心的圆(x1)2y21相切a组(全员必做)1(2013新课标全国卷)o为坐标原点，f为抛物线c：y24x的焦点，p为c上一点，若|pf|4，则pof的面积为()a2b2c2 d4解析：选c由题意知抛物线的焦点f(，0)，如图，由抛物线定义知|pf|pm|，又|pf|4，所以xp3，代入抛物线方程求得yp2，所以spof|of|yp2.2(2013广东茂名二模)已知椭圆1及以下3个函数：f(x)x；f(x)sin x；f(x)cos x其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有()a1个 b2个c3个 d0个解析：选b要使函数yf(x)的图像能等分该椭圆的面积，则f(x)的图像应该关于椭圆的中心o对称，即f(x)为奇函数，和均满足条件3(2013武汉调研)已知f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，p为双曲线右支上的任意一点若8a，则双曲线的离心率的取值范围是()a(1,2 b2，)c(1,3 d3，)解析：选c设|pf2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3.4(2013郑州质量预测)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到x轴的最短距离为()a. b.c1 d2解析：选d由题意知，抛物线的准线l：y1，过a作aa1l于a1，过b作bb1l于b1，设弦ab的中点为m，过m作mm1l于m1.则|mm1|.|ab|af|bf|(f为抛物线的焦点)，即|af|bf|6，|aa1|bb1|6,2|mm1|6，|mm1|3，故m到x轴的距离d2.5(2013大连模拟)已知点a(，0)，点b(，0)，且动点p满足|pa|pb|2，则动点p的轨迹与直线yk(x2)有两个交点的充要条件为k_.解析：由已知得动点p的轨迹为一双曲线的右支且2a2，c，则b1，所以p点的轨迹方程为x2y21(x0)，其一条渐近线方程为yx.若p点的轨迹与直线yk(x2)有两个交点，则需k(，1)(1，)答案：(，1)(1，)6(2013上海普陀一模)若c(，0)，d(，0)，m是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解析：由椭圆y21知c2413，c，c，d是该椭圆的两焦点令|mc|r1，|md|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案：17.如图，在直角坐标系中，已知pab的周长为8，且点a，b的坐标分别为(1,0)，(1,0)(1)试求顶点p的轨迹c1的方程；(2)若动点c(x1，y1)在轨迹c1上，试求动点q的轨迹c2的方程解：(1)由题意，可得顶点p满足|pa|pb|6，结合椭圆的定义，可知顶点p的轨迹c1是以a，b为焦点的椭圆，且椭圆的半焦距长c1，长半轴长a3，则b2a2c28.故轨迹c1的方程为1.(2)已知点c(x1，y1)在曲线c1上，故1.令x，y，得x13x，y12y.代入1，得x2y21，所以动点q的轨迹c2的方程为x2y21.8(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：1 (ab0)右焦点的直线xy0交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为. (1)求m的方程；(2)c，d为m上的两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，m的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以m的方程为1.(2)由解得或因此|ab|.由题意可设直线cd的方程为yxn，设c(x3，y3)，d(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线cd的斜率为1，所以|cd|x4x3| .由已知，四边形acbd的面积s|cd|ab| .当n0时，s取得最大值，最大值为.所以四边形acbd面积的最大值为. 9在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点p和q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为a，b，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于8k244k220，解得k，即k的取值范围为.(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而a(，0)，b(0,1)，(，1)，所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.10(2013武昌模拟)设点p是圆x2y24上任意一点，由点p向x轴作垂线pp0，垂足为p0，且.(1)求点m的轨迹c的方程；(2)设直线l：ykxm(m0)与(1)中的轨迹c交于不同的两点a，b.若直线oa，ab，ob的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；若以ab为直径的圆过曲线c与x轴正半轴的交点q，求证：直线l过定点(q点除外)，并求出该定点的坐标解：(1)设点m(x，y)，p(x0，y0)，则由题意知p0(x0,0)由(x0x，y)，(0，y0)，且，得(x0x，y)(0，y0)于是又xy4，x2y24.点m的轨迹c的方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)联立得(34k2)x28mkx4(m23)0.(8mk)216(34k2)(m23)0，即34k2m20.(*)且依题意，k2，即k2.x1x2k2k2x1x2km(x1x2)m2.km(x1x2)m20，即kmm20.m0，k10，解得k2.将k2代入(*)，得m20.当m2k时，直线l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)(舍去)；当m时，直线l的方程为yk，直线过定点.直线l过定点.b组(强化选做)1已知椭圆：1(ab0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设a，b，m是椭圆上的三点若，点n为线段ab的中点，c，d，求证：|nc|nd|2.解：(1)由已知可得故所以椭圆的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y1.由，得m.因为m是椭圆c上一点，所以21，即2221，得2221，故y1y20.又线段ab的中点n的坐标为，所以22y1y21，从而线段ab的中点n在椭圆2y21上又椭圆2y21的两焦点恰为c，d，所以|nc|nd|2.2在平面直角坐标系xoy中，已知点a(，0)，b(，0)，e为动点，且直线ea与直线eb的斜率之积为.(1)求动点e的轨迹c的方程； (2)设过点f(1,0)的直线l与曲线c相交于不同的两点m，n.若点p在y轴上，且|pm|pn|，求点p的纵坐标的取值范围解：(1)设动点e的坐标为(x，y)，依题意可知，整理得y21(x)所以动点e的轨迹c的方程为y21(x)(2)当直线l的斜率不存在时，满足条件的点p的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入y21并整理得，(2k21)x24k2x2k220，8k280.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设mn的中点为q，则xq，yqk(xq1)，所以点q的坐标为.由题意可知k0，又直线mn的垂直平分线的方程为y.令x0，解得yp.当k0时，因为2k2，所以0yp，当且仅当k时等号成立；当kyp，当且仅当k时等号成立综上所述，点p的纵坐标的取值范围是.3.如图，f是椭圆的右焦点，以点f为圆心的圆过原点o和椭圆的右顶点，设p是椭圆上的动点，p到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l的方程为x4，pml，垂足为m，是否存在点p，使得fpm为等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，设椭圆的标准方程为1