高考数学一轮复习 基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题训练(1).doc

基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、基础知识要记牢指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图像和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且a1)的图像可能是()(2)(2013全国卷)设alog36，blog510，clog714，则()acba bbca cacb dabc解析(1)当x1时，y0，所以函数yax的图像必过定点(1,0)，结合选项可知选d.(2)alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72，log32log52log72，abc.答案(1)d(2)d比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1(1)函数yxx的图像大致为()解析：选a函数yxx为奇函数当x0时，由xx0，即x3x，可得x21，故x1，结合选项，选a.(2)若x(e1,1)，aln x，bln x，celn x，则a，b，c的大小关系为()acba bbcacabc dbac解析：选b依题意得aln x(1,0)，bln x(1,2)，cx(e1,1)，因此bca.函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解时用此法；(2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解二、经典例题领悟好例2(1)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()a(2，1) b(1,0)c(0,1) d(1,2)(2)已知函数f(x)则函数yff(x)1的零点个数是()a2 b3c4 d5解析(1)由f(1)30及零点定理，知f(x)的零点在区间(1,0)上(2)当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x)11，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有四个不同的零点答案(1)b(2)c函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图像与x轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图像，也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来.三、预测押题不能少2若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是00，函数y1(10m)x20在0,200上是增函数，所以当x200时，生产a产品有最大利润，且y1max(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xn,0x120)，所以当x100时，生产b产品有最大利润，且y2max460(万美元)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产a产品200件；当m7.6时，生产a产品或生产b产品均可(投资生产a产品200件或生产b产品100件)；当7.6m8时，可投资生产b产品100件解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.二、预测押题不能少3某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大解：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元), 则f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)所以当t2时，f(t)max4，即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告的费用为(3x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)对g(x)求导，得g(x)x24，令g(x)x240，得x2或x2(舍去)当0x0，即g(x)在0,2)上单调递增；当2x3时，g(x)0，即g(x)在(2,3上单调递减当x2时，g(x)maxg(2).故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为百万元函数的性质与零点的交汇函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题函数的性质与零点的交汇问题成为新的命题点一、经典例题领悟好例(2012湖南高考)设定义在r上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x0，时，0f(x)0.则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()a2b4c5 d8函数yf(x)sin x的零点yf(x)与ysin x图像交点f(x)的范围确定f(x)的正负f(x)0.f(x)0，x(0，)且x，当0x时，f(x)0，f(x)在上单调递减当x0，f(x)在上单调递增当x0，时，0f(x)1.当x，2，则02x.又f(x)是以2为最小正周期的偶函数，知f(2x)f(x)x，2时，仍有0f(x)1.依题意及yf(x)与ysin x的性质，在同一坐标系内作yf(x)与ysin x的简图则yf(x)与ysin x在x2，2有4个交点故函数yf(x)sin x在2，2上有4个零点答案b(1)本题在求解时，用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用题设条件判定yf(x)的值域以及函数yf(x)图像的变化趋势，导致求解受阻.(2)函数与方程应用转化与化归的常见类型判断函数零点个数常转化为两函数的图像交点.由函数的零点情况确定参数范围，常转化为利用函数图像求解.方程根的讨论转化为函数零点的问题.二、预测押题不能少函数yf(x)满足ff，当x1,4时，f(x)x22x，则f(x)在区间0,2 012上零点的个数为()a2 011 b2 012c1 026 d1 027解析：选d根据ff，可得ff(x)，进而得f(x5)f(x)，即函数yf(x)是以5为周期的周期函数当x1,4时，f(x)x22x，在1,0内有一个零点，在(0,4内有x12，x24两个零点，故在一个周期内函数有三个零点又因为2 01240252，故函数在区间0,2 010内有40231 206个零点，在区间(2 010,2 012内的零点个数与在区间(0,2内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f(x)在0,2 012上零点的个数为1 207.1(2013广州惠州调研)已知幂函数yf(x)的图像过点，则log4f(2)的值为()a.bc2 d2解析：选a设f(x)xa，由其图像过点得aa，故log4f(2)log42.2(2013陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是()alogablogcblogcablogablogcalogcbcloga(bc)logablogacdloga(bc)logablogac解析：选b利用对数的换底公式进行验证，logablogcalogcalogcb，则b对3(2013河北质检)若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点()ayf(x)ex1 byf(x)ex1cyexf(x)1 dyexf(x)1解析：选c由已知可得f(x0)ex0，则ex0f(x0)1，ex0f(x0)1，故x0一定是yexf(x)1的零点4(2013天津一中模拟)设a0.5，b0.4，clog (log34)，则()acba babcccab dacb解析：选c由题意得0a1，而log341，clog (log34)，得c0，故ca1，即x1时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在(，1上单调递减当02x1，即1x0时，f(x)1有唯一根，故a2x1在(，0上无根，当a2x1在(，0上有根可得a1，故由a2x1在(，0上无根可知a0或0af(n)，则m，n的大小关系为_解析：由题意知，a(0,1)，故函数f(x)ax是减函数，由f(m)f(n)得mn.答案：mn8(2013陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析：如图，过a作ahbc于h，交de于f，易知afxfh40x.则sx(40x)22，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20(m)答案：209(2013江苏扬州中学期中)已知函数f(x)若x1，x2r，x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则实数a的取值范围是_解析：由已知x1，x2r，x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则需x1时，f(x)不单调即可，即对称轴1，解得a2.答案：a0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)g(x)x22e(x0)，当且仅当x时取等号当xe时，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零点，只需m2e.m2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点如图所示，作出函数g(x)x(x0)的大致图像f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点，必须有m1e22e，即me22e1.即g(x)f(x)0有两个相异实根，则m的取值范围是(e22e1，)11某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数pf(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：(1)当0x100时，p60；当100x600时，p60(x100)0.02620.02x.所以p(2)设利润为y元，则当0x100时，y60x40x20x；当100x600时，y(620.02x)x40x22x0.02x2.所以y当0x100时，y20x是单调增函数，当x100时，y最大，此时y201002 000；当100x600时，y22x0.02x20.02(x550)26 050，所以当x550时，y最大，此时y6 050.显然6 0502 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元12(2013江西七校联考)已知函数f(x)log4(4x1)kx(kr)为偶函数(1)求k的值；(2)若方程f(x)log4