1.2函数及表示法4函数复习（新函数复习.ppt

函数的概念与表示 函数的传统定义 设在一个变化过程中有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一的值与它对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 定义域 自变量x取值的集合叫做函数的定义域 值域 和自变量x的值对应的y的值叫做函数值 函数值的集合叫做函数的值域 函数的近代定义 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任何一个x 在集合b中都有唯一确定的数y和它对应 那么就称f a b为集合a到集合b的一个函数 记作 y f x x a 自变量x的取值范围a叫定义域 函数值y的取值范围叫值域 函数定义的发展 传统定义 从运动变化的观点出发 来源于物理公式 但后来人们发现运用变化的观点解释函数有时很勉强 比如狄立克莱函数 近代定义 从集合 对应的观点出发 其中对应法则将定义域中的任一元素与值域中的唯一确定的元素对应起来 f a b 这里a b是非空的数的集合 函数符号y f x 的含义 它表示y是x的函数 而不是f和x的乘积 其中f表示对应法则 小括号表示把对应法则f施加于x这个变量之上 而等号表示施加之后对应于y 例如 f x 2x2 3 这里是用一个代数式把f所表示的对应法则具体化了 就是说 把自变量x先平方再二倍再加3 即得x对应的函数值 而f就表示了这一套运算手续 符号f a 的含义f a 表示自变量x取a时所对应的函数值 f如果由解析式表达 则可算出f a 例如 f x x2 2x 1在x 0 x 1 x 2时的函数值分别为f 0 1 f 1 2 f 2 7 若f由图表给出 那么就可以通过点的坐标或查表找出f a 要注意f a 与f x 的联系与区别 f a 表示当自变量x a时函数f x 的值 它是一个常量 而f x 是自变量x的函数 在一般情况下 它是一个变量 f a 是f x 的一个特殊值 函数的三要素由函数的定义可知 函数由定义域 值域和对应法则三部分组成 这三部分就叫做函数的三要素 而确定函数的要素是定义域和对应法则 当定义域和对应法则确定之后 函数的值域也就随着确定了 至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的 因此y f x x2与z f t t2表示的是同一函数 另外 在同时研究两个或多个函数时 要用不同的符号来表示它们 除了f x 外还常用g x f x g x 等符号 例1 下列函数中那个与函数y x是同一函数 c 注意 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则 因此 判断两个函数是否相同时 就要看定义域和对应法则是否完全一致 完全一致才是相同函数 函数的定义域 区间的有关概念 练习 1若 2 3 4 5 6 注 求解析式的常用方法 待定系数法 已知函数模式 如 一次 二次函数等 换元法 已知f g x 求f x 常设u g x 配凑法 构造方程法 例2 设函数f x 的定义域为 0 1 求下列函数的定义域1 g x f x 1 2 h x f x2 1 确定用解析式表示的函数的定义域的一般方法 f x 是整式 函数的定义域是r f x 是分式 函数的定义域是使分母不为0的实数的集合 f x 是二次根式 函数的定义域是使被开方式不小于0的实数的集合 如果f x 由几个部分的数学式子构成的 定义域是使各部分都有意义的实数集合 函数的表示法 1 解析法 把两个变量的函数关系用一个等式来表示 这个等式叫函数的解析表达式 简称解析式 优点 一是简明 全面的概括了变量间的关系 二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 例如 s 60t2 a r2 s 2 rly ax2 bx c a 0 y x 2 函数的表示法 2列表法 列出表格来表示两个变量的函数关系 优点是 不必计算就知道自变量取某些值时函数的对应值 国民生产总值 单位 亿元 函数的表示法 3 图象法 用函数图象表示两个变量之间的关系 优点 能直观形象地表示出函数的变化情况 出生率 例4某种茶杯每个5元 买x个茶杯的钱数 元 y 5x x 1 2 3 4 画出这个函数的图像 例5 国内投寄信函 外埠 假设每封信函不超过20g付邮资80分 超过20g而不超过40g付邮资160分 依此类推 每封xg 0 x 100 的信函应付邮资为 单位 分 画出这个函数的图像 从以上三例可以看出 函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线 但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成 有些函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值范围 对应法则不同 这样的函数通常称为分段函数 分段函数是一个函数 而不是几个函数 小结 函数的定义 表示方法 以及区间的有关概念 作业 p572 3 1 4 4 6