七年级数学下册.一元一次方程.教师版.doc

第五讲一元一次方程中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题知识点睛板块一 等式的概念及性质等式的概念：用等号”来表示相等关系的式子，叫做等式.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则.因此等式有如下几种类型.恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立.如：数字算式.条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立.方程需要才成立.矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.如，.等式由代数式构成，但不是代数式.代数式没有等号.等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 若，则；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式.若，则，注意：(1)在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行.即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边(2)等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同.(3)在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 等式具有对称性，即：如果，那么.等式具有传递性，即：如果，那么.易错点：等号左右互换的时候忘记变符号板块二：方程的有关概念方程：含有未知数的等式叫作方程.定义中含有两层含义：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母.二者缺一不可.方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程：求得方程的解的过程.解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程.关于方程的解的检验：要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是.关于方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数.但可以不说).5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、等表示.未知数：是指要求的数，未知数通常用、等字母表示.如：关于、的方程中，、是已知数，、是未知数.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的”元”是指未知数，”次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的形式：一元一次方程的最简形式：方程(，为已知数)叫一元一次方程的最简形式.一元一次方程的标准形式：(其中，是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式.注意：(1)任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程是一元一次方程.如果不变形，直接判断就出会现错误.(2)方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成板块三 解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：1去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号2去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号3移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边温馨提示：移项要变号；不要丢项4合并同类项：把方程化成的形式温馨提示：字母和其指数不变5系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数( )，得到方程的解 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒重、难点重难点：1.了解一元一次方程及其相关概念；2.利用等式的基本性质探究一元一次方程的解法；3.掌握一元一次方程的解法，体会化归思想。4. 含字母系数的一元一次方程的讨论5. 绝对值方程以及方程的整数解问题例题精讲【例1】 回答下列问题，并说明理由(1)由能不能得到？(2)由能不能得到？(3)由能不能得到？(4)由能不能得到？【解析】 紧扣等式变形的两个性质是解题的关键(1)由不能得到理由：根据等式性质1，等式两边都减去3应得，根据等式性质2，等式两边都除以2，得，而，(2)由不能得到理由：根据等式性质2，等式两边都除以整式b时，b应不等于0，但题中b的取值情况未作说明，因此由，当时，才有.(3)由得理由：这个等式中隐含了，这个条件，根据性质2，等式两边都除以一个不等于0的整式，应得 (4)由不能得到理由：因为不是整式，等式性质1要求在等式两边都加上或减去同一个整式，所以由得到是错误的.并且使失去意义.【巩固】(北京四中2005-2006学年度第一学期期中测验初一年级数学试卷)下列结论中正确的是( )A在等式的两边都除以3，可得等式；B如果，那么；C在等式的两边都除以，可得等式；D在等式的两边都减去，可得等式.【解析】 B【巩固】(2008秋黄冈中学初一年级期末考试)下列变形中，不正确的是( )A若，则B若则C若，则 D若，则【解析】 A【例2】 根据等式的性质填空：(1)，则_； (2)，则( )；(3)，则_； (4)，则_.【解析】 (1)，在等式两端同时加上；(2)，在等式两端同时加上；(3)，在等式的两端同时乘以；(4)，在等式的两端同时乘以.【例3】 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的.(1)如果，那么_； (2)如果，那么_；(3)如果，那么_； (4)如果，那么_.【解析】 (1)，根据等式性质1，在等式两边都减去3；(2)，根据等式性质1，在等式两边都加上；(3)，根据等式性质1，在等式两边都加上；(4)8，根据等式性质2，在等式两边都除以3.【例4】 判断题：(1)是代数式.(2)是等式.(3)等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.(4)若，则.【解析】 (1) ；(2) ；(3) ；(4).【例5】 下列说法不正确的是：( )A.等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式.B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式.C.等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式.D.一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式.【解析】 选择C.【例6】 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由(1) (2) (3)(4) (5) (6)【解析】 判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数.(1)是方程.未知数是，已知数是3，；(2)是方程.未知数是，已知数是2，3；(3)不是方程.因为不含等号”=“；(4)不是方程.因为不含未知数；(5)是方程.未知数是、已知数是4，；(6)是方程.未知数是x、y，已知数、1常数项、未知数的系数均为已知数，未知数的系数为1时，可以省略不说，但未知数系数为时，一定要指明，如(5).【巩固】下列各式不是方程的是：( ) A. B. C. D. 【解析】 选择C.方程的解与解方程【例7】 检验括号里的数是不是方程的解，(，)【解析】 把分别代入方程的左边和右边，左边，右边，左边右边，故不是方程的根.把代入方程的左边和右边，左边，右边，左边=右边，是方程的根.【例8】 下列说法不正确的是：( )A.解方程指的是求方程解的过程.B.解方程指的是方程变形的过程.C.解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程.D.解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程.【解析】 选择B.一元一次方程的认识【例9】 下列各式中：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).哪些是一元一次方程？【解析】 (6)、(8)是一元一次方程.(1)不是等式，更不是方程；(2)不含未知数；(3)化简后的系数为0；(4)在分母上出现，也不是一元一次方程；(5)未知数的最高次数是2，不是一次；(6)是；(7)是方程，但不是一元一次方程；(8)是.【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )A BC D【解析】 C【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )(多选)A B C D E F【解析】 C和F点评：对于判定一个方程是不是一元一次方程，如果不是整式方程则不是一元一次方程，若是整式方程，则需要化简后再判断是否满足一元一次方程的定义根据一元一次方程确定系数【例10】 若关于的方程是一元一次方程，求的值.(2)已知方程是关于的一元一次方程，求，满足的条件.(3)已知是关于的一元一次方程，求的值.【解析】 (1)，.(2)且，所以，.(3)由题意可知该方程是一元一次方程，二次项的系数必为0，则，所以，而一次项系数不为0，则，所以.【巩固】若关于的方程是一元一次方程，求的解.【解析】 ，且，所以.【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则=_；若关于的方程是一元一次方程，则方程的解=_【解析】 若关于的方程是一元一次方程，则且，所以；若关于的方程是一元一次方程，则，原方程可变形为：，所以.【例11】 已知是方程的解，则 .【解析】 根据题意可得，则.【巩固】如果关于的方程的根是，求的值.【解析】 根据题意可得，.【巩固】已知关于的方程的解为，求：的值.【解析】 方程的解为，则有，求得，.【巩固】(西城期末)某书中有一道解方程的题：， 处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解是，那么 处应该是数字( )A B C D 【解析】 B【例12】 若是方程的解，求代数式的值.【解析】【巩固】(海淀期末复习)已知关于的方程的解满足方程，则 【解析】【例13】 求关于的一元一次方程的解.【解析】 由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，有两种情况：(1)当，即时，原方程可化为：，解得；(2)当且时，即时，原方程可化为，解得，综上所得或者.【巩固】是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则( )A B C D【解析】 C【巩固】(东城教学评估)已知方程是一元一次方程，则 ， 【解析】 ，【例14】 已知是方程的解，则 .(04年黄岗市中考题目)求关于的一元一次方程的解.【解析】 由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，有两种情况：(1)当，即时，原方程可化为：，解得；(2)当且时，即时，原方程可化为，解得，综上所得或者.【例15】 解方程：解：原方程可化为去分母，得 根据等式的性质( )去括号，得 移项，得 根据等式的性质( )合并同类项，得 系数化为，得 根据等式的性质( )【解析】 去分母，得根据等式的性质( 2 )去括号，得移项，得根据等式的性质( 1 )合并同类项，得系数化为，得根据等式的性质( 2 )【例16】 解方程：(1) (2)【解析】 (1)去括号，移项，合并同类项，系数化一，.(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化一，【巩固】解方程：(1)；(2)；(3) 【解析】 (1)；(2)；(3).【巩固】解方程： 【解析】 【巩固】(人大附中2005-2006学年度第一学期期中初一年级数学考试)解方程：【解析】【例17】 解下列方程：(1)；(2)；(3)【解析】 解这类方程通常先应用分数的基本性质，将系数化为整数(1)原方程可化为，而后解得；(2)原方程可化为，解得；(3)原方程可化为，解得.【巩固】解方程 ：(1)(2)(3)(第10届”希望杯”初一第1试)【解析】 (1)，.(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答可得：.(3)；【巩固】解方程：(1)，解得(2)，解得(.)(3)，解得(4)，解得(5)，解得【巩固】(三帆中学2005-2006学年度第一学期期中考试)解方程：【解析】 原方程可化为，解得.解含多层括号的一元一次方程【例18】 解方程.【解析】 (法1)：从内向外去括号去小括号，得，去中括号，得，去大括号，得，移项、合并同类项，得.系数为1，得(法2)：从外向内去括号，去大括号，得，去中括号，得，去小括号，得，移项、合并同类项，得.系数为1，得(法3)：多次去分母，两边同乘以2，得，两边同乘以2，得，两边同乘以2，得，移项合并同类项，得.系数化为1，得【点评】解题时要善于观察题目特点选择合理得理解途径.【巩固】解方程：【解析】【巩固】(”五羊杯”初一试题)解方程：.【解析】 ，.【例19】 解方程：【解析】 注意一定去括号的顺序，解得.【巩固】解方程：【解析】 解得【巩固】解方程：【解析】 解得【巩固】解下列方程：(1)(2)【解析】 (1)；(2)原方程可化为：，.用整体思想解一元一次方程【例20】 解方程：【解析】 原方程可变为：，即，又，所以，即.【巩固】(北京市中考模拟试题解)方程【解析】 按常规去括号整理后再解，显然较繁，应用整体思想求解，括号，移项，可解得.【巩固】解方程：【解析】 这一方程在变换过程中，宜将作为一个整体.方程两边同乘以6，得，.【巩固】(2002年广西赛区选拔赛题)求方程的解【解析】 原方程可化为：，注意在运算过程中把视为一个整体，解得.解一元一次方程中的应用【例21】【解析】 ，即，故【巩固】解方程：【解析】 原方程变形为：即有，【例22】 【解析】 如果你发现，可能离成功已经不远了，因为，故【巩固】解方程： 【解析】