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1 3 2球的表面积与体积 学习目标 1 通过对球的体积和面积公式的推导 了解推导过程中所用的基本数学思想方法 分割 求和 化为准确和 2 能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题 3 能解决球的截面有关计算问题及球的 内接 与 外切 的几何体问题 r r 一个半径和高都等于r的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为r的半球的体积相等 一 球的体积 r r r 二 球的表面积 r s球表 4 r2 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 变式2 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 侧棱长为5cm 两个几何体相切 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切 球内切于正方体 变式3 把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里 能否装得下 半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系 球外接于正方体 两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 8 2 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 练习1 探究 若正方体的棱长为a 则 1 正方体的内切球的直径 2 正方体的外接球的直径 3 与正方体所有的棱相切的球的直径 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习2 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 7 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 6 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 练习2 5 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 例2 如图是一个奖杯的三视图 单位是cm 试画出它的直观图 并计算这个奖杯的体积 精确到0 01cm 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x y z 解 这个奖杯的体积为 v v正四棱台 v长方体 v球 v正四棱台 v长方体 6 8 18 864 v球
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