线性代数教案_第二章_矩阵.doc

教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日授课章节第二章 矩阵 2.1矩阵 2.2矩阵的运算 目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算 重 点矩阵的运算难 点矩阵的乘法2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。一、矩阵的概念 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等 例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1B2B3B4A11635A23120A34012那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。定义2.1 由个数排成的行列数表 （2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵. 如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为 O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，已知AB，求.【解】 因为，所以 二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。（2）形如的阶方阵称为上三角矩阵.（3）形如的阶方阵称为下三角矩阵.（4）形如的阶方阵称为n阶对角矩阵，记为.（5）形如的阶方阵称为n阶数量矩阵。特别地，当时，即矩阵称为n阶单位矩阵，记为.应该注意到，单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必成立. 当然零矩阵也是数量矩阵.（6）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作（7）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量.就向量而言，称其元素为分量，分量的个数称为向量的维数. 例如，是4维行向量，是维列向量.矩阵的每一行 都是维行向量；A的每一列 都是维列向量.（8）分量都是0的向量称为零向量，记为三、矩阵的线性运算1.矩阵的加法定义2.2 设有两个矩阵和，矩阵A与B的和记为AB，规定两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 值得注意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设都是矩阵）：（1）.（2）.（3）.2.矩阵的数乘定义 2.3 设有矩阵，为任意常数，数与矩阵 A 的乘积称为矩阵的数乘，记作kA或Ak，规定为即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素.设，记称为矩阵A的负矩阵. 显然有由此规定矩阵的减法为即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.数与矩阵的乘法满足以下运算规律（设是矩阵，,为数）：（1）.（2）.（3）.（4），.（5）若，则或.矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.例3 设矩阵 A =，B =，求3A - 2B. 【解】 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差.3A = 2B = 3A - 2B = -= 例4 已知设, ，, 求 【解】 四、矩阵的乘法定义2.4 设是矩阵，是矩阵，规定矩阵A与B的乘积是一个矩阵，其中 即矩阵C的第行第列的元素是矩阵A的第行与矩阵B的第列对应元素相乘之和，记作注意 (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例5 设矩阵 求AB及BA.【解】 因为 A 是矩阵，B 是矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘. 其乘积AB是一个矩阵：由于B的列数不等于A的行数，因此BA没有意义.例6 求矩阵 的乘积AB及BA.【解】.例7 某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：用矩阵C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，求矩阵C。 I II 单价 利润 A = B = 【解】 C中的元素分别为 ， 即C =矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）乘法结合律 .（2）数乘结合律 (其中为数)（3）左乘分配律 ，右乘分配律 例8 求矩阵 的乘积AB、BA及AC.【解】 . . .由以上的例子可知：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，.（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即由，一般不能得出或.（3）矩阵的乘法不满足消去律，即由，一般不能从等式两边消去 A，得出.若矩阵A与B满足，则称矩阵A与B可交换.单位矩阵在矩阵的乘法运算中占有特殊的地位. 任何矩阵与单位矩阵相乘（假设运算可以进行），都等于这个矩阵，即对任意的矩阵A， 单位矩阵的这条性质，使得单位矩阵在矩阵乘法运算中的地位类似于实数乘法中的数. 不过应该注意，如果矩阵A不是方阵，上面两个式子中的单位矩阵的阶数是不同的.五、矩阵的转置定义2.5 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作.例如，矩阵的转置矩阵为矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：（1）.（2）.（3）（其中为数）（4）.例9 已知 求.【解】 （解法一） 因为所以（解法二）定义2.6 阶方阵A满足，则称A为对称矩阵.例如， 都是对称矩阵. 对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等. 由定义可以直接得到：对称矩阵的和、数乘仍为对称矩阵.六、方阵的行列式定义2.7 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或.方阵与行列式是不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值.设A,B为阶方阵，是任意常数，方阵的行列式满足如下的运算规律：（1）.（2）.（3）.例10 设 求.解 （解法一） 因为所以=由公式，则.（解法二） 因为=所以.注 方阵是数表, 而行列式是数值授课章节第二章 3 可逆矩阵目的要求掌握矩阵可逆的条件，并会利用伴随阵求出逆矩阵重 点逆矩阵的定义、可逆的条件及逆矩阵的求法难 点逆矩阵的求法3 可逆矩阵数的乘法存在着逆运算除法，当数时逆满足，这使得一元线性方程的求解可简单得到：方程两边同时乘以，得解。那么，在解矩阵方程（此处为单列矩阵）时是否也存在类似的逆使得呢？这就是要研究的可逆矩阵问题。对于任意的级方阵都有这里是级单位矩阵。因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位。一个实数的倒数可以用等式，来刻划，相仿地，我们引入1 逆矩阵的定义定义2.8 对于阶矩阵A，如果存在一个阶矩阵B，使得则矩阵A称为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作，即注 1.如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的. 这是因为：设B,C都是A的逆矩阵，则有所以A的逆矩阵是唯一的.2.定义中，的地位是对等的，因此也可逆，且(就是)，即是说与是互为逆矩阵。例如，由于，所以是可逆矩阵，且的逆矩阵是。 同样，当都不为零时，由=可知对角阵是可逆矩阵，且是其逆矩阵.2.逆矩阵的求法一个矩阵在什么条件下是可逆的呢？下面的定理回答了这个问题，并以行列式为工具给出了逆矩阵的一种求法.首先介绍伴随矩阵的概念：设则称阶方阵为矩阵A的伴随矩阵，其中为元素的代数余子式.例如，则.由矩阵乘法易知定理2.1 阶方阵A可逆的充要条件是，且当时，.证明 必要性. 因为A可逆，即有，使得故所以充分性. 设，则由，得由逆矩阵的定义及唯一性可知A可逆，且.当，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵. 由定理2.1可知可逆矩阵就是非奇异矩阵.由定理2.1可得以下推论：推论1 若阶方阵满足且，则.证明 因为，所以A可逆. 用左乘两边，得.推论2 若阶方阵满足，且，则.证明 因为，所以A可逆，用左乘两边，得.推论3 设A为阶方阵，若存在阶方阵B，使得（或），则A可逆，且.证明 由，故，因而存在，于是推论 3使检验可逆矩阵的过程减少一半，即由或，就可确定B是A的逆矩阵，但前提是A,B必须是同阶矩阵.3.逆矩阵满足的运算率方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若矩阵A可逆，则亦可逆，且.（2）若矩阵A可逆，数，则可逆，且.证明 因为则由推论3可知（3）若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且证明 因为则由推论3可知（4）可逆矩阵A的转置也可逆，且证明 因为则由推论3可知（5）若矩阵A可逆，则.证明 因为，所以从而例1 求二阶矩阵的逆矩阵.【解】 因为 所以例2 求矩阵的逆矩阵.【解】 因为，所以存在. 下面再计算的代数余子式： 则所以例3 密码问题： , , , , action：1, 3, 20, 9, 15, 14 加密： , 发出接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43 解密： , 明码：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action例4 设方阵A满足方程，证明A为可逆矩阵，并求（为常数，）【证明】 由，得因，故则由推论3可知A可逆，且对矩阵方程 利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵的逆矩阵，可求出其解，它们分别为： 对于其他形式的矩阵方程，可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解.例5 设 求矩阵X，使满足.【解】 因为，所以,都存在，且 又由，得到4.方阵的幂有了矩阵的乘法和逆矩阵的概念，就可以定义方阵的幂. 设A为阶方阵，规定 其中是正整数，即就是个A连乘.显然有意义的充要条件是为方阵，故只有方阵才有幂.设A为阶可逆方阵，规定其中是正整数.由于矩阵的乘法适合结合律，因此当，对于整数，有，又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶矩阵 A 与 B，一般来说有.例6 设，且，求.【解】 因为，所以 而 故授课章节第二章 2.4 分块矩阵 目的要求了解分块矩阵的定义，简单运算和性质，掌握矩阵的按行和按列分块法重点分块矩阵的定义，简单运算、性质难点分块矩阵的划分，运算性质2.4 分块矩阵为了研究行数、列数较高的矩阵，对矩阵常常采用分块的方法. 类似于集合的划分，对矩阵进行分块是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵. 线性代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜. 在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上，利用分块矩阵计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果，而且利用分块矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等.一、矩阵的分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 分成子块的方法很多，矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵的列数一致.例如常用的几种分块方法：（1）列向量分法，即，其中为A的列向量.（2）行向量分法，即，其中为A的行向量.（3）分两块，即或.（4）分四块，即.二、分块矩阵的运算1. 加 法设、为同型矩阵，若采用相同的分块法，即 则注 相加矩阵的行、列的分块方式要一致，即行块列块数对应相等、对应位置上的子块的行列数对应等。例1已知，用矩阵的分块计算【解】 2. 数 乘3. 乘