1112高中数学 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修22.ppt

2 1 2演绎推理 理解演绎推理的概念 掌握演绎推理的形式 并能用它们进行一些简单的推理 了解合情推理与演绎推理的联系与区别 本节重点 演绎推理的结构特点 本节难点 三段论推理规则 1 用集合论的观点来分析 三段论推理的依据是 如果集合m中的每一个元素都具有属性p 且s是m的子集 那么集合s中的每一个元素都具有属性p 2 为了方便 在运用三段论推理时 常常采用省略大前提或小前提的表述方式 对于复杂的论证 总是采用一连串的三段论 把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提 3 合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 但数学结论 证明思路等的发现 主要靠合情推理 因此 我们不仅要学会证明 也要学会猜想 三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 演绎推理是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 但错误的前提可能导致错误的结论 1 演绎推理从的原理出发 推出情况下的结论的推理形式 它的特点是 由的推理 它的特征是 当都正确时 必然正确 一般性 某个特殊 一般到特殊 前提和推理形式 结论 2 三段论推理在推理中 若b c 而a b 则a c 这种推理规则叫三段论推理 它包括 1 已知的一般性原理 2 所研究的特殊情况 3 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 推理是演绎推理的一般模式 大前提 小前提 结论 三段论 3 三段论 的常用格式大前提 小前提 结论 m是p s是m s是p 例1 下列说法正确的个数是 演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理的一般模式是 三段论 形式 演绎推理得到的结论的正误与大前提 小前提和推理形式有关 a 1b 2c 3d 4 答案 c 解析 由演绎推理的概念可知说法 正确 不正确 故应选c 下列几种推理过程是演绎推理的是 a 两条直线平行 同旁内角互补 如果 a与 b是两条平行直线的同旁内角 则 a b 180 b 某校高三1班有55人 2班有54人 3班有52人 由此得高三所有班人数超过50人c 由平面三角形的性质 推测空间四面体的性质 答案 a 解析 c是类比推理 b与d均为归纳推理 而合情推理包括类比推理和归纳推理 故b c d都不是演绎推理 而a是由一般到特殊的推理形式 故a是演绎推理 分析 即写出推理的大前提 小前提 结论 大前提可能在题目中给出 也可能是已经学过的知识 解析 1 每个菱形的对角线相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的对角线相互垂直结论 2 两个角是对顶角则两角相等大前提 1和 2不相等小前提 1和 2不是对顶角结论 点评 在三段论中 大前提 提供了一般的原理 原则 小前提 指出了一个特殊场合的情况 结论 在大前提和小前提的基础上 说明一般原则和特殊情况间的联系 平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理 学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法 把下列演绎推理写成三段论的形式 1 在一个标准大气压下 水的沸点是100 所以在一个标准大气压下把水加热到100 时 水会沸腾 2 一切奇数都不能被2整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被2整除 解析 1 大前提 在一个标准大气压下 水的沸点是100 小前提 在一个标准大气压下把水加热到100 结论 水会沸腾 2 大前提 一切奇数都不能被2整除 小前提 2100 1是奇数 结论 2100 1不能被2整除 3 大前提 三角函数都是周期函数 小前提 y tan 是三角函数 结论 y tan 是周期函数 4 大前提 两条直线平行 同旁内角互补 小前提 a与 b是两条平行直线的同旁内角 结论 a b 180 例3 指出下面推理中的错误 1 因为自然数是整数 大前提而 6是整数 小前提所以 6是自然数 结论 2 因为中国的大学分布于中国各地 大前提而北京大学是中国的大学 小前提所以北京大学分布于中国各地 结论 分析 要判定推理是否正确 主要从三个方面 1 大前提是否正确 2 小前提是否正确 3 推理形式是否正确 只有当上面3条都正确时 结论才正确 解析 1 推理形式错误 m是 自然数 p是 整数 s是 6 故按规则 6 应是自然数 m 此时它是错误的小前提 推理形式不对 所得结论是错误的 2 这个推理错误的原因是大 小前提中的 中国的大学 未保持同一 它在大前提中表示中国的各所大学 而在小前提中表示中国的一所大学 点评 三段论的论断基础是这样一个原理 凡肯定 或否定 了某一类对象的全部 也就肯定 或否定 了这一类对象的各部分或个体 简言之 全体概括个体 m p s三个概念之间的包含关系表现为 如果概念p包含了概念m 则必包含了m中的任一概念s 如图甲 如果概念p排斥概念m 则必排斥m中的任一概念s 如图乙 下列推理是否正确 将有错误的指出错误之处 1 求证 四边形的内角和等于360 证明 设四边形abcd是矩形 则它的四个角都是直角 有 a b c d 90 90 90 90 360 所以 四边形的内角和等于360 3 在rt abc中 c 90 求证 a2 b2 c2 证明 因为a csina b ccosa 所以a2 b2 c2sin2a c2cos2a c2 sin2a cos2a c2 4 设a b a 0 b 0 等式两边乘以a 得a2 ab 两边减去b2 得a2 b2 ab b2 两边分解因式 得 a b a b b a b 两边除以 a b 得a b b 以b代a 得2b b 两边除以b 得2 1 解析 上述四个推理过程都是错误的 1 犯了偷换论题的错误 在证明过程中 把论题中的四边形改为矩形 2 使用的论据是 无理数与无理数的和是无理数 这个论据是假的 因为两个无理数的和不一定是无理数 因此原题的真实性仍无法断定 3 本题的论题就是人们熟知的勾股定理 上述证明中用了 sin2a cos2a 1 这个公式 按照现行中学教材的系统 这个公式是由勾股定理推出来的 这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据 犯了循环论证的错误 4 所得结果显然是错误的 错误的原因在于以 a b 除等式两边 因为a b 而a b 0 用0除等式两边 这是错误的 例4 在四边形abcd中 ab cd bc ad 如图 求证 abcd为平行四边形 写出三段论形式的演绎推理 分析 原题可用符号表示为 ab cd 且 bc ad abcd 用演绎推理来证明论题的方法 也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别 特殊事实 为了证明这个命题为真 我们只需在假设前提 ab cd 且 bc ad 为真的情况下 以已知公理 已知定义 已知定理为依据 根据推理规则 导出结论 abcd为真 证明 1 连结ac 2 平面几何中的边边边定理是 有三边对应相等的两个三角形全等 这一定理相当于 对于任意两个三角形 如果它们的三边对应相等 则这两个三角形全等 大前提如果 abc和 cda的三边对应相等小前提则这两个三角形全等 结论符号表示 ab cd 且 bc da 且 ca ac abc cda 3 由全等形的定义可知 全等三角形的对应角相等 这一性质相当于 对于任意两个三角形 如果它们全等 则它们的对应角相等 大前提如果 abc和 cda全等 小前提则它们的对应角相等 结论用符号表示 就是 abc cad 1 2 且 3 4 且 b d 4 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 平行线判定定理 大前提直线ab dc被直线ac所截 若内错角 1 2 3 4小前提 已证 ab dc bc ad ab dc 且 bc ad 结论 同理 5 如果四边形的两组对边分别平行 那么这个四边形是平行四边形 平行四边形定义 大前提四边形abcd中 两组对边分别平行 小前提四边形abcd为平行四边形结论符号表示为 ab dc且ad bc abcd为平行四边形 点评 像上面这样详细地分析一个证明的步骤 对于养成严谨的推理习惯 发展抽象思维能力 是有一定积极作用的 但书写起来非常繁琐 一般可以从实际出发 省略大前提或小前提 采用简略的符号化写法 比如 本例的证明 通常可以这样给出 用三段论证明 直角三角形两锐角之和为90 证明 因为任意三角形三内角之和是180 大前提而直角三角形是三角形小前提所以直角三角形三内角之和是180 结论设直角三角形两个内角分别为a b 则有 a b 90 180 因为等量减等量差相等大前提 a b 90 90 180 90 小前提所以 a b 90 结论 例5 2010 安徽理 18 如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是正方形 ef ab ef fb ab 2ef bfc 90 bf fc h为bc的中点 1 求证 fh 平面edb 2 求证 ac 平面edb 3 求二面角b de c的大小 解析 综合法 1 证 设ac与bd交于点g 则g为ac的中点 连eg gh 四边形efgh为平行四边形 eg fh 而eg 平面edb fh 平面edb 2 证 由四边形abcd为正方形 有ab bc 又ef ab ef bc 而ef fb ef 平面bfc ef fh ab fh 又bf fc h为bc的中点 fh bc fh 平面abcd fh ac 又fh eg ac eg 又ac bd eg bd g ac 平面edb 3 解 ef fb bfc 90 bf 平面cdef 在平面cdef内过点f作fk de交de的延长线于k 则 fkb为二面角 be c的一个平面角 又bf fc h为bc的中点 fh bc fh 平面abc 以h为坐标原点 为x轴正向 为z轴正向 建立如图所示坐标系 设bh 1 则a 1 2 0 b 1 0 0 c 1 0 0 d 1 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 设m为实数 求证 方程x2 2mx m2 1 0没有实数根 解析 已知方程x2 2mx m2 1 0的判别式 2m 2 4 m2 1 4 0 所以方程x2 2mx m2 1 0没有实数根 点评 此推理过程用三段论表述为 大前提 如果一元二次方程的判别式 0 那么这个方程没有实数根 小前提 一元二次方程x2 2mx m2 1 0的判别式 0 结论 一元二次方程x2 2mx m2 1 0没有实数根 一 选择题1 演绎推理是以下列哪个为前提 推出某个特殊情况下的结论的推理方法 a 一般的原理b 特定的命题c 一般的命题d 定理 公式 答案 a 解析 考查演绎推理的定义 由定义知选a 2 所有9的倍数 m 都是3的倍数 p 若奇数 s 是9的倍数 m 故该奇数 s 是3的倍数 上述推理是 a 小前提错误b 大前提错误c 结论错误d 正确的 答案 d 解析 大前提是正确的 小前提也是正确的 推理过程也正确 所以结论也正确 故应选d 3 如果有人在1985年以后大学毕业 他就一定读过 邓小平理论 刘明读过 邓小平理论 所以 a 刘明可能是1985年以后的大学毕业生b 刘明是共产党员c 刘明是1985年以后的大学毕业生d 刘明喜欢这本书 答案 a 解析 由实际生活情况知a正确 故应选a 二 填空题4 指出三段论 自然数中没有最大的数字 大前提 9是最大的个位数字 小前提 所以9不是自然数 结论 中的错误是 答案 小前提中s不是m 解析 大前提中的数字泛指非负整数 而小前提