常微分方程2.3-初值问题解的性质.docx

第三节 初值问题的解的性质一、初值问题的解是自变量、初值的三元函数时至今日，我们都是把初值视作固定不变的，去讨论初值问题的解，这个解自然是自变量的函数，但还不能完全反映实际情况. 因为在应用上，我们将一个实际问题化为微分方程的初值问题时，初值通常是通过做试验进行观察或测量而获得的，难免不产生误差而保持它们绝对准确. 由此可知，初值一般不是固定不变而是可以变动的. 初值的变动，必然导致相应初值问题的解的随之变动. 因此，一般地说，初值问题的解该是自变量，初值的三元函数. 例如初值问题的解是，它显然是的三元函数，并且关于还是连续、可微的. 我们把初值问题(2.1.1)，(2.1.2)的解记为(2.3.1)并且假定它已经向左右两个方向延拓，即假定(2.3.1)是(2.1.1)，(2.1.2)的饱和解，同时，按照函数的定义，还应有. 二、初值问题的解关于初值的一些基本性质1. 初值问题的解关于初值的对称性定理4 设初值问题(2.1.1)，(2.1. 2)的解(2.3.1)是唯一的，则式(2.3.1)中的与可以互换其相对位置，即(2.3.1)在其存在范围内可变换为(2.3.2)证 若任取，则由(2.3.1)，有，于是，由初值问题解的唯一性知，方程(2.1.1)的过点的解与过点的解应是同一个解或同一条积分曲线. 因此，方程(2.1.1)的过点的解可表示为(2.3.3)并且按函数的定义，有(2.3.4)由于是任取的，所以是方程(2.1.1)的过点的积分曲线上的任一点，从而将(2.3.4)中的换为上的任一点亦是成立的，即有这就证明了初值问题关于初值的对称性. 2. 初值问题解关于初值的连续性初值问题(2.1.1)，(2.1.2)的解一般是自变量，初值的三元函数，并且关于还是连续和可微的. 下面我们就从理论上论述这一事实. 引理1 设方程(2.1.1)右端的函数在某区域内连续，且在内关于满足L-条件，L-系数是. 若和分别是方程(2.1.1)的定义在区间和上的任意两个解，区间，则对及某，均有 (2.3.5)证 令，则于是，有，即. 故对满足的任意，有即(2.3.6)而对满足的任意，令，并记，则方程(2.1.1)变为 (2.3.7)且易知(2.3.7)有解和再令，则由上述推理知，对，满足的任意，有 (2.3.8)因(2.3.9)故将(2.3.9)代入(2.3.8)，得(2.3.10)于是，由(2.3.6)和(2.3.10)即知，对及某，均有定理5 设方程(2.1.1)右端的函数在区域内连续，且在内关于满足局部L-条件，L-系数是，若是初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的定义于区间上的解，则对任给的，存在，使当时，方程(2.1.1)的过点的解至少亦在区间上有定义，并且对任意，有证 首先，若记，则可以找到一个满足的有界闭集，使在内关于满足L-条件，L-系数是. 事实上，是方程(2.1.1)的过点的一条积分曲线段，它显然是区域内的一个有界闭集. 于是，由定理5的假定，对每一，必可作一个开圆使方程(2.1.1)右端的函数在内关于满足L-条件，L-系数是. 因此，根据有限覆盖定理，可以找到具有上述性质的有限个开圆把它们全部“拼起来”，即既在内，又完全覆盖，亦即且在每个内关于满足L-条件，L-系数是，. 当然，亦在内关于满足L-条件，L-系数可取为，同时，根据聚点原理可推知，与的边界的距离. 于是，对任给，若取及并记，则满足且在内关于满足L-条件，L-系数是. 其次证明，对上述任给的，必找得到正数，使当满足不等式时，方程(2.1.1)的过点的解至少亦在区间上有定义. 事实上，因方程(2.1.1)的右端函数在有界闭集上连续且在内关于满足L-条件，故由解的延拓定理4知，方程(2.1.1)的过点的积分曲线必能延拓到区域的边界上去. 设它在的边界上的点为和，则这时必满足如若不然，则有于是，由引理1则有又由作为的函数的连续性知，对，存在，使当时，有. 若取，则当时，有即对，有(2.3.11)特别地，当和时，即有和这说明：点、均不在有界闭集的边界上而在的内部，这与假设矛盾. 故，从而解至少在区间上有定义. 最后，由(2.3.11)即知，对任给，存在，(其中，而，且)，使当时，对，有推论2 (初值问题的解对初值的连续性定理) 在定理5的条件下，方程(2.1.1)的过点的解作为自变量，初值的三元函数在点处连续. 证 因作为自变量的函数在区间上连续. 故对任给的，存在，使当时，又由定理5知，对上述任给的，使当时，有若取，则当时，就有这表明，解作为自变量，初值的三元函数在点处连续. 推论3 (初值问题的解对初值的连续性定理) 在定理5的条件下，方程(2.1.1)的过点的解作为自变量，初值的三元函数在其存在域内是连续的. 证 对任意，由定理1及定理3即知，方程(2.1.1)的过点的解存在、唯一，经延拓可得饱和解，不妨仍记此饱和解为，其存在区间为(注意这里是的函数). 令，则解作为的三元函数，其定义域(存在域)为，且在上连续. 这是因为对任意点，解作为自变量的函数，其最大存在区间内必含有点. 于是，存在区间的闭子区间，使解在区间上有定义，从而由推论2知：解作为的三元函数在点上连续，由于点在上任取的，所以解作为的三元函数在其存在域内是连续的. 3. 含有参数的微分方程的初值问题的解对初值和参数的连续性含有参数的微分方程的初值问题为在上述初值问题所描述的实际系统中，参数常常表征各种持续的随机干扰因素的影响，而这种影响往往又无法精确地测量出来. 若参数的微小变动引起对应的初值问题的解的巨大变动，则所求得的这种解就不能近似地描述所研究的自然、社会现象，从而也就没有多大的实际价值. 若在区域 上连续，且在内一致地关于满足局部L-条件，即对任意，都存在以该点为中心的球，使得对任意，都有其中，是与无关的正常数亦称为L-系数. 则由定理1知，对每一，方程(2.3.12)存在过点的唯一解，记它为，并且按照函数的定义，自然有. 定理6 (初值问题的解对初值和参数的连续依赖性) 设方程(2.3.12)右端的函数在区域上连续，且在内关于一致地满足局部L-条件，L-系数是. ，若是方程(2.3.12)的定义在区间上的过点及的解，其中， 是方程(2.3.12)的过点及的解，其中，则对任给的，存在使当时，解至少亦在区间上有定义，并且在区间上，有定理7 (初值问题的解对初值和参数的连续性) 若方程(2.3.12)右端的函数在区域内连续且在内关于一致地满足局部L-条件，L-系数，则方程(2.3.12)的过点及的解作为的函数，在其存在区域内是连续的. 4. 初值问题的解对初值的可微性定理8 若方程(2.1.1)右端的函数及其对的偏导数均在域内连续，则初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的解作为的三元函数，在其存在域内是连续的、可微的. 证 事实上，由对的偏导数在内连续可推知，在内关于满足L-条件. 又因在内连续. 故由定理5的推论3知，初值问题(3.1)、(3. 2)的解作为的三元函数，在其存在域内连续. 下面证明解作为的三元函数，在其存在域内可微. 由数学分析知识知，只需证明对的偏导数均在内连续. 先证解对的偏导数在内连续. 因是初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的解. 故由定理1的命题1知，是积分方程的解，从而由解的定义，有又因在内连续，在内连续，故由复合函数的连续性知，在内连续. 于是，由含参变量的积分的可微性知(2.3.14)从而作为的三元函数，在其存在域内连续. 其次证解对的偏导数在内连续. 因在内连续，在内连续. 故由复合函数的连续性知，在内连续. 于是，由含参变量的积分的可微性知且 故是初值问题的解. 解上述初值问题，得(2.3.15)显见作为的三元函数，亦在其存在域内连续. 最后，证明解对的偏导数亦在内连续. 由含参变量的积分的可微性知且 故是初值问题的解. 解上述初值问题，得(2.3.16)显见作为的三元函数，仍在其存在域内连续. 这样，我们就证明了初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的解作为的三元函数，在其存在域内连续、可微，且其微分为显然，反复利用初值问题的解对自变量、初值的偏微商公式(2.3.14)、(2.3.15)、(2.3.16)及复合函数的微商法则，我们还可以得到初值问题的解对初值的高阶可微性. 例1 设初值问题的解为. 试求：. 解 因及均在平面上连续，故由定理8知，初值问题(2.3.15)、(2.3.16)的解作为的三元函数在其存在域内连续可微的. 于是，由初值问题的解对初值的偏微商公式(2.3.17)、(2.3.