高考数学二轮复习 专题五 解析几何高考预测课件 理.ppt

专题五 解析几何高考预测解析几何是高中数学的一个重要内容 从近几年的高考试题看 约占总分的20 一般是一大 解答题 三小 选择题 填空题 或一大两小 小题以中档题居多 主要是考查直线 圆和圆锥曲线的性质及线性规划问题 一般可利用数形结合方法解决 大题一般以直线和曲线的位置关系为命题背景 并结合函数 方程 数列 不等式 平面向量 导数等知识 考查轨迹方程 探求曲线性质 求参数取值范围 求最值与定值 探求存在性等问题 对求轨迹问题 主要涉及圆锥曲线的焦半径 离心率等知识 对于直线与圆锥曲线位置关系的题目 要充分应用等价化归的思想方法把几何条件转化为代 数 坐标 问题 进而利用韦达定理处理 对于最值 定值问题 常采用 几何法 利用图形性质来解决 代数法 建立目标函数 再求函数的最值 确定某几何量的值域或取值范围 一般需要建立方程或不等式 或利用圆锥曲线的有界性来求解 对于圆锥曲线中的 存在性 型的题目 可以先通过对直线特殊位置的考查 如直线垂直x轴 探求出可能的结论 然后再去解决更一般的情况 这样也可以实现 分步得分 的解题目的 思想方法上注意定义法 消参法 相关点法 解析法 解方程 组 数形结合思想 化归与转化思想 函数与方程思想等在解题中的应用 考题回放1 2009年 宁夏海南 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 a x 2 2 y 2 2 1 b x 2 2 y 2 2 1 c x 2 2 y 2 2 1 d x 2 2 y 2 2 1 解析 设圆c2的圆心为 a b 依题意有对称圆的半径不变 为1 故选b 答案 b 2 2011年 天津 设抛物线y2 2x的焦点为f 过点m 0 的直线与抛物线相交于a b两点 与抛物线的准线相交于点c bf 2 则 bcf与 acf的面积之比等于 a b c d 解析 设直线方程为y k x 将方程代入y2 2x得k2x2 2k2 2 x 3k2 0 2 xb 2 即xb 又 xa xb 3 xa 2 由图可知 答案 a3 2009年 重庆 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 c 0 f2 c 0 若椭圆上存在点p使 则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 因为在 pf1f2中 由正弦定理得 则由已知 得 知pf1 pf2 由椭圆的定义知pf1 pf2 2a 则pf2 pf2 2a 即pf2 由椭圆的几何性质知pf2 a c 则 a c 即c2 2ca a2 0 所以e2 2e 1 0 解得e 1或e 1 又e 0 1 故椭圆的离心率e 1 1 答案 1 1 4 2009年 湖北 过抛物线y2 2px p 0 的对称轴上一点a a 0 a 0 的直线与抛物线相交于m n两点 自m n向直线l x a作垂线 垂足分别为m1 n1 1 当a 时 求证 am1 an1 2 记 amm1 am1n1 ann1的面积分别为s1 s2 s3 是否存在 使得对任意的a 0 都有s22 s1s3成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 解析 1 当a 时 a 0 为该抛物线的焦点 而l x a为准线 由抛物线的定义知 则 nn1a nan1 mm1a mam1 又 nn1a ban1 mm1a bam1 则 ban1 bam1 nan1 mam1 而 ban1 bam1 nan1 mam1 180 则 n1am1 ban1 bam1 90 所以am1 an1 2 可设直线mn的方程为x my a 由得y2 2pmy 2pa 0 设m x1 y1 n x2 y2 则y1 y2 2pm y1y2 2pa s1 x1 a s2 2a s3 x2 a 由已知s22 s1s3恒成立 则4a2 y1 y2 2 x1 a x2 a y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 4p2m2 8pa x1 a x2 a my1 2a my2 2a m2y1y2 2ma y1 y2 4a2 m2 2pa 2ma 2pm 4a2 4a2 2pam2 则得4a2 4p2m2 8pa 2pa 4a2 2pam2 解得 4 即当 4时 对任意的a 0 都有s22 s1s3成立 5 2009年 重庆 已知以原点o为中心的椭圆的一条准线方程为y 离心率e m是椭圆上的动点 1 若c d的坐标分别是 0 0 求 mc md 的最大值 2 如图 点a的坐标为 1 0 b是圆x2 y2 1上的点 n是点m在x轴上的射影 点q满足条件 0 求线段qb的中点p的轨迹方程 解析 1 由题设条件知焦点在y轴上 故可设椭圆方程为 1 a b 0 设c 由准线方程y 得 由e 得 解得a 2 c 从而b 1 椭圆的方程为x2 1 又易知c d两点是椭圆x2 1的焦点 所以 mc md 2a 4 从而 mc md 2 22 4 当且仅当 mc md 即点m的坐标为 1 0 时上式取等号 mc md 的最大值为4 2 法一 如图 设m xm ym b xb yb q xq yq 因为n xm 0 故xq 2xm yq ym xq2 yq2 2xm 2 ym2 4 因为 0 1 xq yq 1 xb yb 1 xq 1 xb yqyb 0 所以xqxb yqyb xb xq 1 记p点的坐标为 xp yp 因为p是bq的中点 所以2xp xq xb 2yp yq yb 又因为xb2 yb2 1 结合 得xp2 yp2 xq xb 2 yq yb 2 xq2 xb2 yq2 yb2 2 xqxb yqyb 5 2 xq xb 1 xp 故动点p的轨迹方程为2 y2 1 法二 设b cos sin m cos 2sin 则n cos 0 2cos 2sin 又 0 cos 1 2cos 1 2sin sin 0 2cos 2cos cos 1 设p x y 则 2 2得 4x2 4y2 5 2 2x 1 即x2 x y2 2 y2 1 专题训练一 选择题1 已知点a 7 4 关于直线l的对称点为b 5 6 则直线l的方程是 a 5x 6y 11 0 b 6x 5y 1 0 c 6x 5y 11 0 d 5x 6y 1 0 解析 依题意得 直线l是线段ab的垂直平分线 kab kl ab的中点坐标为c 1 1 直线l过点c 即直线l的方程是y 1 x 1 即6x 5y 1 0 答案 b 2 直线 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1与直线2x 3y 5平行 则m的值等于 a 或1 b 或1 c d 1 解析 3 2m2 m 3 2 m2 m 0 8m2 m 9 0 m 或1 但m 1时 直线 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1不存在 m 答案 c3 已知直线l的倾斜角比直线x y 1 0的倾斜角大15 且在两坐标轴上的截距互为相反数 则直线l的方程为 a y x b y x c y x d y x 解析 直线x y 1 0的斜率为1 则倾斜角为45 由题意知直线l的倾斜角为60 kl 又l在两坐标轴上的截距互为相反数且斜率kl l必经过原点 直线l的方程为y x 答案 b4 若圆c与直线x y 0和x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0 则圆c的方程为 a x 1 2 2 2 b x 1 2 y 1 2 2 c x 1 2 y 1 2 2 d 2 y 1 2 2 解析 法一 设圆心为 a a 半径为r 则 r a 1 r 法二 由题意知圆心为直线x y 0 x y 4 0分别与直线x y 0的交点的中点 交点分别为 0 0 2 2 圆心为 1 1 半径为 答案 b5 某公司有60万元资金 计划投资甲 乙两个项目 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍 且对每个项目的投资不能低于5万元 对项目甲每投资1万元可获得0 4万元的利润 对项目乙每投资1万元可获得0 6万元的利润 该公司正确规划投资后 在这两个项目上共可获得的最大利润为 a 36万元 b 31 2万元 c 30 4万元 d 24万元 解析 设对甲投资x万元 对乙投资y万元 则如图所示 在a点取得最大值 联立即zmax 31 2万元 答案 b 6 已知两点m 2 0 n 2 0 点p为坐标平面内的动点 满足 0 则动点p x y 的轨迹方程为 a y2 8x b y2 8x c y2 4x d y2 4x 解析 本题主要考查平面向量的数量积运算以及抛物线的定义 设p x y 由题意知 m 2 0 n 2 0 4 则 4 0 x 2 y x 2 y 由 0 则4 4 x 2 0 化简整理得y2 8x 答案 b7 已知p是椭圆 y2 1上的一点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是 a b c d 解析 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 16 3 pf1 pf2 pf1 pf2 即s f1pf2 pf1 pf2 sin60 答案 a8 已知抛物线y x2 3上存在关于直线x y 0对称的相异两点a b 则 ab 等于 a 3 b 4 c 3 d 4 解析 设直线ab的方程为y x b 由 x2 x b 3 0 x1 x2 1 则ab的中点为m b 又由m b 在直线x y 0上可求出b 1 由弦长公式可求出 ab 3 答案 c9 在三棱柱abc a1b1c1中 二面角a cc1 b的大小为30 动点m在平面acc1a1上运动 且m到平面bcc1b1的距离d ma 则点m的轨迹为 a 直线 b 抛物线 c 双曲线 d 椭圆 解析 过m作mn垂直平面bb1c1c于点n 作md垂直cc1于d 连md 由三垂线定理可得dn cc1 所以 mdn 30 则md mn ma 即 由圆锥曲线第二定义可知点m轨迹为椭圆 答案 d 10 已知双曲线的中心在原点 一个焦点为f 0 直线y x 1与其相交于a b两点 ab中点的横坐标为 则此双曲线的方程是 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 法一 由题意可设双曲线方程为 1 与直线y x 1联立消去y得 7 2a2 x2 2a2x a4 8a2 0 a2 由韦达定理得xa xb 而 即 a2 2 即双曲线方程为 1 法二 同中点横坐标为 得中点纵坐标为 设把a xa ya b xb yb 代入双曲线方程相减得 7 a2 xa xb a2 ya yb 0 故有 7 a2 a2 0 得a2 2 双曲线方程为 1 答案 d11 已知 1 m 0 n 0 当mn取得最小值时 直线y x 2与曲线 1的交点个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 1 2 mn 8 当且仅当m 2 n 4时 等号成立 当x 0 y 0时 直线与曲线仅有2个交点 0 2 0 当x 0 y0 的焦点f的直线l交抛物线于点a b 交其准线于点c 若 bc 2 bf 且 af 3 则此抛物线的方程为 a y2 x b y2 9x c y2 x d y2 3x 解析 设l x my y2 2pmy p2 2 xb yb xa 3 ya 2p 3 p 即抛物线方程为y2 3x 答案 d 二 填空题13 若以原点为圆心的圆全部在区域内 则圆面积的最大值为 解析 可知平面区域为一个三角形 rmax即求 0 0 到三条直线的最小距离 d1 d2 d3 dmin s r2 答案 14 如图 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点恰好是椭圆 1的右焦点f 且两条曲线的交点连线也过焦点f 则该椭圆的离心率为 解析 研究椭圆与抛物线在第一象限的交点 对于椭圆来说 坐标为 c 对于抛物线来说 坐标为 p 所以有 2c 又b2 a2 c2 e 联立解得e 1 答案 115 已知点m 3 1 是双曲线x2 1内一点 p在曲线上运动 f是双曲线的右焦点 则 pm pf 的最小值为 此时点p的坐标为 解析 由方程知a 1 b c 2 离心率e 2 所以 pf 等于p到右准线的距离d pm d的最小值等于m到右准线x 的距离3 此时点p的坐标为 答案 16 设直线系m xcos y 2 sin 1 0 2 对于下列四个命题 a m中所有直线均经过一个定点 b 存在定点p不在m中的任一条直线上 c 对于任意整数n n 3 存在正n边形 其所有边均在m中的直线上 d m中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为xcos y 2 sin 1 所以点p 0 2 到m中每条直线的距离d 1 即m为圆c x2 y 2 2 1的全体切线组成的集合 从而m中存在两条平行直线 所以a错误 又因为 0 2 点不在任何直线上 所以b正确 对任意n 3 存在正n边形使其内切圆为圆n 故c正确 m中可组成两个大小不同的正三角形 故d错误 故命题中正确的序号是bc 答案 bc 三 解答题17 已知圆c x2 y2 4 1 直线l过点p 1 2 且与圆c交于a b两点 若 ab 2 求直线l的方程 2 过圆c上一动点m作平行于x轴的直线m 设m与y轴的交点为n 若向量 求动点q的轨迹方程 解析 1 弦 ab 2 设圆心到此直线的距离为d 则2 2 得d 1 即圆心c 0 0 到直线l的距离为1 又直线l经过点p 1 2 当直线l垂直于x轴时 此时直线方程为x 1 满足题意 当直线l不垂直于x轴时 设其方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 则1 得k 故所求直线方程为3x 4y 5 0 综上所述 所求直线方程为3x 4y 5 0或x 1 2 设点m的坐标为 x0 y0 点q的坐标为 x y 则点n的坐标为 0 y0 又mn x轴 y0 0 x y x0 2y0 即x0 x y0 又 x02 y02 4 x2 4 y 0 点q的轨迹方程是 1 y 0 18 已知直线l x 2y 12 0与抛物线x2 4y交于a b两点 过a b两点的圆与抛物线在a 其中a点在x轴的右侧 处有共同的切线 1 求圆m的方程 2 若圆m与直线y mx交于p q两点 o为坐标原点 求证 为定值 解析 1 由得a 6 9 b 4 4 抛物线在a处的切线斜率为y 3 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由切线性质得 又圆心在ab的中垂线上 即b 2 a 1 由 得圆心m r2 圆m的方程为 2 法一 由得 1 m2 x2 3 23m x 72 0 设p x1 y1 q x2 y2 则x1x2 又 op x1 oq x2 故 1 m2 x1x2 72 法二 切割弦定理 设直线过o点与圆m切于点t 如图 则 2 2 2 72 19 有一幅椭圆型彗星轨道图 长4cm 高2cm 如右图 已知o为椭圆中心 a1 a2是长轴两端点 太阳位于椭圆的左焦点f处 1 建立适当的坐标系 写出椭圆方程 并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离 2 若直线l垂直于a1a2的延长线于d点 od 4 设p是l上异于d点的任意一点 直线a1p a2p分别交椭圆于m n 不同于a1 a2 两点 问点a2能否在以mn为直径的圆上 试说明理由 解析 1 建立如图所示的坐标系 设椭圆方程为 1 a b 0 依题意 2a 4 2b 2 a 2 b c 1 椭圆方程为 1 f 1 0 将x 1代入椭圆方程得y 当彗星位于太阳正上方时 二者在图中的距离为1 5cm 2 由 1 知 a1 2 0 a2 2 0 设m x0 y0 m在椭圆上 y02 4 x02 又点m异于顶点a1 a2 2 x0 2 由p m a1三点共线可得p x0 2 y0 2 x0 2 2 x0 2 x0 0 0 又p a2 n三点共线 直线a2m与na2不垂直 点a2不在以mn为直径的圆上 20 设点f 0 动圆p经过点f 且和直线y 相切 记动圆的圆心p的轨迹为曲线w 1 求曲线w的方程 2 过点f作互相垂直的直线l1 l2 分别交曲线w于a b两点和c d两点 求四边形acbd面积的最小值 解析 1 过点p作pn垂直于直线y 于点n 依题意得 pf pn 即动点p到定直线y 与定点 0 的距离相等 所以动点p的轨迹是以f 0 为焦点 直线y 为准线的抛物线 即曲线w的方程是x2 6y 2 依题意 直线l1 l2的斜率存在且不为0 则可设直线l1的方程为y kx 由l1 l2得l2的方程为y x 将y kx 代入x2 6y 化简得x2 6kx 9 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 6k x1x2 9 ab 6 k2 1 同理可知 cd 6 ab cd 四边形acbd的面积s ab cd 18 k2 1 1 18 72 当且仅当k2 即k 1时 smin 72 故四边形acbd面积的最小值是72 21 已知双曲线c与椭圆 1有相同的焦点 且y x是c的一条渐近线 1 求双曲线c的方程 2 经过定点p 0 4 的直线l交双曲线c于a b两点 交x轴于点q q不是双曲线c的顶点 若 2 求点q的坐标 解析 1 椭圆 1的焦点坐标为 2 0 2 0 双曲线c的半焦距c 2 可设双曲线的方程为 1 a2 b2 4 又 y x是双曲线c的一条渐近线 联立 解得 双曲线c的方程为x2 1 2 由题意知