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第八节正 余弦定理的应用 基础梳理 解三角形 1 解三角形 一般地 把三角形三个角a b c和它们的对边a b c 叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形 2 解三角形的类型 已知三边求三角 用 定理 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 用 定理 已知两角和任一边 求其他两边和一角 用 定理 已知两边和一边的对角 求第三边和其他两角 用 定理 余弦 余弦 正弦 正弦 基础达标 在某次测量中 在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60 c点的俯角为70 则 bac 2 若p在q的北偏东44 则q在p的 方向 解析 如图 依题意知 aqp 44 则点q在点p的南偏西44 3 必修5p18例1改编 为了在一条河上建一座桥 施工前在河两岸打上两个桥位桩a b 如图 要测算出a b两点间的距离 测量人员在岸边定出基线bc 测得bc 100m b 60 c 45 则ab m 4 必修5p21第8题改编 如图 a b两地之间隔着一个水塘 现选择另一点c 测得ca 80m cb 40m acb 60 则a b两地之间距离为 m 5 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 且ab 1 bc 4 则边bc边上的中线ad的长为 经典例题 题型一距离问题 例1 一货轮在海上由西向东航行 在a处望见灯塔c在货轮的东北方向 半小时后在b处望见灯塔c在货轮的北偏东30 方向 若货轮的速度为30nmile h 当货轮航行到d处望见灯塔c在货轮的西北方向处 求a d两处的距离 分析 如图所示 由条件可知 acd是等腰直角三角形 故只要求出ac即可 而 abc中 ab可知 cab cba都可知 利用正弦定理可求出ac 解 如图所示 在 abc中 cab 45 abc 90 30 120 acb 180 45 120 15 ab 300 5 15 nmile 题型二高度问题 例2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40m后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为30 求塔高 分析 依题意画出示意图形如图所示 在 bdc中 可用正弦定理求bd的长 要使仰角 aeb最大 即使tan aeb最大 由于ab是塔高 是定值 故只要be最小就可以了 故当be dc时为最小 即be长可求出 然后在rt abe中求出塔高ab的长 题型三角度问题 分析 画出示意图如图所示 设中国编队应按cd方向行驶 且在d处追上海盗船
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