1.3导数在研究函数中的应用1.3.3 函数的最值.ppt

1 3 3函数的最大值与最小值 一 复习引入 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 二 新课 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 导数的应用 求函数最值 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 所有极值连同端点函数值进行比较 最大的为最大值 最小的为最小值 典型例题 1 求出所有导数为0的点 2 计算 3 比较确定最值 动手试试 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 04浙江文21 本题满分12分 已知a为实数 求导数 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 例2 典型例题 小结 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 思考 反思 本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上 从而解决问题 往往伴随有分类讨论 2 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 1 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 应用 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 解 设b x 0 0 x 2 则a x 4x x2 从而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面积为 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点b为时 矩形的最大面积是 拓展提高 我们知道 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值 那么把闭区间 a b 换成开区间 a b 是否一定有最值呢 函数f x 有一个极值