【优化方案】高考数学总复习 第13章§13.2导数的应用精品课件 大纲人教版.ppt

13 2导数的应用 导数的应用 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 课时闯关 决战高考 13 2 双基研习 面对高考 1 函数的单调性与导数的符号的关系 在某个区间上 增函数 减函数 常数函数 2 函数的极值与最值的辨析 1 定义设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 判别f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 极大值 f x 0 f x 0 思考感悟 1 如果f x 在其定义域内恒有f x 0 则f x 是否一定是其定义域上的增函数 为什么 2 对于函数y x3 在x 0处能取得极值吗 提示 在x 0处不能取得极值 因为f x 3x2 0恒成立 在x 0两侧单调性没发生变化 1 教材例题改编 函数f x 2x3 6x 7的极大值为 a 1b 1c 3d 11答案 d 答案 d 3 函数f x x3 3x 1在 3 0 上的最大值 最小值分别是 a 1 1b 1 17c 3 17d 9 19答案 c4 f x x x b 2在x 2处有极大值 则常数b的值为 答案 65 函数f x x3 ax的减区间为 2 2 则a的值是 答案 12 考点探究 挑战高考 若函数f x 为连续函数 使f x 0的x的取值区间为f x 的增区间 使f x 0的x的取值区间为f x 的减区间 注意定义域 思路分析 求f x 并求解不等式f x 0及f x 0 解 f x x2 a2 2 x a2 1 x 1 x a2 1 a2 1 1 当a 0时 f x 0 f x 在r上为增函数 当a 0时 a2 1 1 f x 0时 x a2 1或x 1 f x 0时 1 x a2 1 增区间为 a2 1 1 减区间为 1 a2 1 名师点评 对于含有参数的函数研究单调性时 要根据参数是否影响f x 正负取值来确定是否讨论参数 对于求极值的问题 首先明确函数的定义域 并用导数为0的点把定义域分割成几部分 然后列表判断导数在各部分取值的正负 极值点从表中就很清楚地显示出来 求函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 a 1 的极值 思路分析 由已知得f x 6x x a 1 令f x 0 得x1 0 x2 a 1 当a 1时 f x 6x2 f x 在 上单调递增 f x 没有极值 当a 1时 f x f x 随x的变化情况如下表 由上表可知 当x 0时 f x 有极大值f 0 且f 0 1 当x a 1 f x 有极小值f a 1 且f a 1 1 a 1 3 综上所述 当a 1时 f x 没有极值 当a 1时 f x 的极大值为f 0 1 思维总结 f x0 0只是x0为极值的必要条件 务必有在x0两侧f x 单调发生变化 才能确定f x0 为极值点 互动探究1若本例中的函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 在x 0处取得极值 求a的取值 解 由已知得f x 6x x a 1 显然f 0 0恒成立 要使f x 在x 0处有极值 则f x 0必有两个不等根 a 1 0 a 1 1 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再判断 只需直接与端点的函数值比较即可获得 2 当连续函数的极值只有一个时 相应的极值必为函数的最值 已知a为实数 f x x2 4 x a 1 求f x 的导数 2 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 思路分析 1 第一问先展开 后对x求导 优于直接按积的导数求导 2 第二问是利用导数求函数的最值 应注意最大 小 值是函数在f x 0的根处及端点处值的最大 小 者 思维总结 此题省去了讨论单调性的过程 因x 或x 1是极值点 若f x 0的点不是极值点时 必须要讨论单调性 确定极值 互动探究2若f 1 0 求f x 在 0 1 上的值域 生活中的利润最大 用料最省等优化问题 可转化为函数最值 结合导数求解 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 5 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 思路分析 1 可直接求关于t的二次函数的最值 2 中可将收益看作关于x的函数 求其最值 解 1 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2百万元时 f t 取得最大值4百万元 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 解得x 2 舍去 或x 2 又当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取得最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销时 该公司由此获得的收益最大 思维总结 在 2 中g x 只有一个极值 就是其最值 方法技巧 1 求可导函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间上是减函数 如例1 2 求可导函数f x 的极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如例2 3 已知f x 在区间 a b 上的单调性 求参数的范围时 则根据f x 0或f x 0在 a b 内恒成立 注意验证等号是否成立 失误防范 1 求函数单调区间时 要先求定义域 对于不连续的函数的单调区间不可用 联结合并 2 利用极值求字母参数时 要注意将所求字母参数的值代入验证 是否符合取极值的条件 如例2 互动探究 考向瞭望 把脉高考 从近两年的高考试题来看 导数的综合应用是高考的热点之一 每年必考且题型多为解答题 题目难易程度属中 高档题 并且多为压轴题 主要是借用导数处理函数的单调性 极值 最值等问题 进而研究函数 数列的有关不等式 在2010年的高考中 各省市考题都对此进行了考查 如大纲全国卷 和卷 文科试题第21题 利用极值和单调性求字母参数的取值 重庆文第19题在讨论单调性的基础上 又求函数在闭区间上的最值 都是有关导数的常见题型 预测2012年导数的综合应用仍是高考的热点 会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力 难度可能中等或较大 名师点评 本题主要考查了函数的求导 求极值 判断单调性及分类讨论思想 运算推理能力 属于中档偏上 此题入手容易 所以绝大多数考生在这个题目上