初中常见动点问题解题方法43752

初中常见动点问题解题方法 唐江红旗学校张远强 引言 以运动的观点探究几何图形部分规律的问题 称之为动态几何问题 动态几何问题充分体现了数学中的 变 与 不变 的和谐统一 其特点是图形中的某些元素 点 线段 角等 或某部分几何图形按一定的规律运动变化 从而又引起了其它一些元素的数量 位置关系 图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化 但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存 具有一定的规律可寻 常见的动点问题 一 求最值问题二 动点构成特殊图形问题 一 求最值问题 初中利用轴对称性质实现 搬点移线 求几何图形中一些线段和最小值问题 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个 1 两点之间线段最短 2 三角形两边之和大于第三边 3 垂线段最短 求线段和最小值问题可以归结为 一个动点的最值问题 两个动点的最值问题 一 求最值问题 例 如图 正方形ABCD的面积为12 ABE是等边三角形 点E在正方形内 在对角线AC上有一动点P 使PD PE的值最小 则其最小值是 一个动点 特点 已知两个定点位于一条直线的同一侧 在直线上确定一动点的位置 使动点与两定点线段和最小 求出最小值 思路 解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点 连结这个对称点与另一定点 交直线于一点 交点即为动点满足最值的位置 考题中 经常利用本身就具有对称性质的图形 比如等腰三角形 等边三角形 正方形 圆 二次函数 直角梯形等图形 即其中一个定点的对称点就在这个图形上 p 练习1 如图 等边 ABC的边长为4 AD是BC边上的中线 F是AD边上的动点 E是AC边上一点 若AE 2 当EF CF取得最小值时 则 ECF的度数为 A 15 B 22 5 C 30 D 45 2 如图 在直角梯形中 AD BC AB BC AD 2 BC DC 5 点P在BC上移动 当PA PD取得最小值时 APD中AP边上的高为 3 如图 O的半径为2 点A B C在 O上 OA OB AOC 60 P是OB上的一动点 则PA PC的最小值是 两个动点 一 特点 已知一个定点位于平面内两相交直线之间 分别在两直线上确定两个动点使线段和最小 思路 这类问题通过做这一定点关于两条线的对称点 实现 搬点移线 把线段 移 到同一直线上来解决 例 如图 AOB 45 P是 AOB内一点 PO 10 Q R分别是OA OB上的动点 求 PQR周长的最小值是 例 如图 AOB 45 P是 AOB内一点 PO 10 Q R分别是OA OB上的动点 求 PQR周长的最小值是 解析 过OB作P的对称点 过OA作P的对称点 90 练习1 如图 已知 AOB的大小为 P是 AOB内部的一个定点 且OP 2 点E F分别是OA OB上的动点 若 PEF周长的最小值等于2 则 A 30 B 45 C 60 D 90 2 如图 AOB 30 内有一点P且OP 2 若M N为边OA OB上两动点 那么 PMN的周长最小为 A 2 6B 6C 6 2D 6 两个动点 二 特点 两动点在两条直线上 定点和其中一个动点共线 求不共线动点分别到定点和另一动点的距离和最小值 思路 1 利用轴对称变换 使不共线动点在另一动点的对称点与定点的连线段上 两点之间线段最短 例 如图 在锐角 ABC中AB 4 2 BAC 45 BAC的平分线交BC于点D M N分别是AD AB上的动点 则BM MN的最小值是 2 这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时 两线段和最小 最小值等于这条垂线段的长 例 如图 在锐角 ABC中 AB 4 2 BAC 45 BAC的平分线交BC于点D M N分别是AD AB上的动点 则BM MN的最小值是 解析 作点N关于AD的对称点 此时BM MN BM M 则要满足 B M 三点共线 B垂直于AC 练习1 如图 在 ABC中 C 90 CB CA 4 A的平分线交BC于点D 若点P Q分别是AC和AD上的动点 则CQ PQ的最小值是 2 在锐角三角形ABC中 AB 4 BAC 60 BAC的平分线BC于D M N分别是AD与AB上动点 则BM MN的最小值是 小结 以 搬点移线 为主要方法 利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题 如何实现 搬点移线 1 确定被 搬 的点 2 确定被 移 的线 二 动点构成特殊图形 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊位置 分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系 或是找到变化中的不变量 建立方程或函数关系解决 如图 梯形ABCD中 AD BC AD 9cm BC 6cm 点P从点A出发 沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动 当点P在AD上运动时 设运动时间为t 求当t为何值时 四边形APCB为平行四边形 P 问题导入 P 解析 6 t 四边形APCB为平行四边形 AP 6t 6 动点构成特殊图形解题方法 4 根据所求 利用特殊图形的性质或相互关系 找出等量关系列出方程来解决动点问题 2 先确定特定图形中动点的位置 画出符合题意的图形 化动为静 3 根据已知条件 将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来 1 把握运动变化的形式及过程 思考运动初始状态时几何元素的关系 以及可求出的量 如图 在Rt ABC中 B 90 BC 5 C 30 点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动 同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动 当其中一个点到达终点时 另一个点也随之停止运动 设点D E运动的时间是t秒 t 0 过点D作DF BC于点F 连接DE EF 1 求证 AE DF 2 四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能 求出相应的t值 如果不能 说明理由 3 当t为何值时 DEF为直角三角形 请说明理由 例题讲解 1 求证 AE DF解析 A t 2t t C B 又 AE t AE DF 在 DFC中 DFC 90o C 30o DC 2t DF t 30o 2 四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能 求出相应的t值 如果不能 说明理由 A t 2t t C B 解析 能 理由如下 AB BC DF BC 四边形AEFD为平行四边形 由 1 知AE DF AEDF 在Rt ABC中 设AB x 则AC 2x 解得x 5 即AB 5 AC 10 若使平行四边形AEFD为菱形 则须AD AE 即t 10 2t t 即当t 时 四边形AEFD为菱形 30o 10 2t 3 当t为何值时 DEF为直角三角形 请说明理由 A t 2t C B 若 EDF 90o时 则四边形EBFD为矩形 30o 10 2t 解析 在Rt AED中 ADE C 30o AD 2AE 即10 2t 2t t 30o 当 EDF 90o时 即10 2t t 3 当t为何值时 DEF为直角三角形 请说明理由 A t 2t C B 当 DEF 90o时 解析 由 2 知EF AD ADE DEF 90o A 90