单因素方差分析13689

方差分析 单因素方差分析 小组成员 李洁201011221352陈芬洁201011221346 Fisher判别法借用了方差分析的思想 这里我们就介绍一下单因素方差分析方法 如果讨论如何对两个总体的均值进行检验 如我们要确定两种销售方式的效果是否相同 可以对零假设进行检验 但有时销售方式有很多种 如表 1 中列出了四种 这就是多个总体均值是否相等的假设检验问题了 所采用的方法是方差分析 例1 某公司采用四种方式推销其产品 为检验不同方式推销产品的效果 随机抽样得下表 表 1 某公司产品销售方式所对应的销售量 例1中要研究的问题是这四个销售量的均值之间是否有显著差异 当然我们可以采用两总体均值检验的方法进行多次检验 但这显然工作效率低 方差分析 AnalysisofVariance ANOVA 是20世纪20年代由英国统计学家费雪 RonaldAylmerFisher 首先提出的 最初主要应用于生物和农业田间试验 以后推广到各个领域应用 它是直接对多个总体的均值是否相等进行检验 这样不但可以减少工作量 而且可以增加检验的稳定性 方差分析的基本思想 要看不同推销方式的效果 其实就归结为一个检验问题 设为第i种推销方式i i 1 2 3 4 的平均销售量 即检验原假设是否为真 从数值上观察 四个均值都不相等 方式二的销售量明显较大 然而 我们并不能简单地根据这种第一印象来否定原假设 而应该分析 之间差异的原因 从表 1 可以看到 20个数据各不相同 这种差异可能由两方面的原因引起的 一是推销方式的影响 不同的方式会使人们产生不同消费冲动和购买欲望 从而产生不同的购买行动 这种由不同水平造成的差异 我们称为系统性差异 另一是随机因素的影响 同一种推销方式在不同的工作日销量也会不同 因为来商店的人群数量不一 经济收入不一 当班服务员态度不一 这种由随机因素造成的差异 我们称为随机性差异 两个方面产生的差异用两个方差来计量 一是 之间的总体差异 即水平之间的方差 一是水平内部的方差 前者既包括系统性差异 也包括随机性差异 后者仅包括随机性差异 如果不同的水平对结果没有影响 如推销方式对销售量不产生影响 那么在水平之间的方差中 也就仅仅有随机性差异 而没有系统性差异 它与水平内部方差就应该接近 两个方差的比值就会接近于1 反之 如果不同的水平对结果产生影响 在水平之间的方差中就不仅包括了随机性差异 也包括了系统性差异 这时 该方差就会大于水平内方差 两个方差的比值就会比1大 当这个比值大到某个程度时 即达到某临界点 我们就作出判断 不同的水平之间存在着显著性差异 因此 方差分析就是通过对水平之间的方差和水平内部的方差的比较 做出拒绝还是不能拒绝原假设的判断 单因素方差分析 在单因素方差分析中 若因素A共有r个水平 对均衡试验而言 每个水平的样本容量为k 则共有kr个观察值 如表 2 所示 对不均衡试验 各水平中的样本容量可以是不同的 设第i个样本的容量是 则观测值的总个数为 表 2 单因素方差分析的数据结构 观测值 水平 方差分析最初是针对试验设计的试验结果的分析而提出的 设在某试验中 因素A有r个水平 在水平下的试验结果服从 这里相互独立 在水平下做了次试验 得到个观测结果 它们可以看作是来自的一个容量为的样本 因为 所以可得单因素方差分析模型如下 1 其中随机误差相互独立 都服从分布 要检验的假设是不全相等 以表示这r个总体均值的平均值 即称为一般水平或平均水平 令称为因素的第i个水平的效应 由算术平均数的性质易得 把原参数变换成新参数后 单因素方差分析模型则变为 2 其中表示水平的第j个观察值 上述要检验的假设则等价于不全为0 对于例1要比较四种推销方式对应的销售量是否存在差异 那么第一种推销方式中的某个观察值就等于该种方式的平均水平再加上一个随机误差 如果四种方式总体均值都相同 则它就等于总体均值再加上一个随机误差 实际上就变成了同一个变量分布中的某一点 所以原假设和备择假设是 即推销方式对销售量影响不显著 不全等 即推销方式对销售量有显著影响 构造检验F统计量 1 水平的均值我们令为第i 或 水平的样本均值 则 3 当各水平的的观察值个数均相等的时候 公式 3 变为 4 2 全部观察值的总均值我们令为全部观察值的总均值 则 5 当各水平的的观察值个数均相等的时候 公式 5 变为 6 对例1而言 各都相等 即k 5 计算结果见表1 3 离差平方和在单因素方差分析中 离差平方和有三个 1 总离差平方和 SumofSquaresforTotal 简称SST 计算公式为 7 总离差平方和反映全部观察值的离散状况 是全部观察值与总平均值的离差平方和 2 误差项离差平方和 SumofSquaresforError 简称SSE 计算公式为 8 误差项离差平方和又称为组内离差平方和 它反映了水平内部观察值的离散情况 即随机因素产生的影响 3 水平项离差平方和 SumofSquaresforFactorA 简称SSA 计算公式为 9 水平项离差平方和又称组间离差平方和 是各组平均值与总平均值的离差平方和 它既包括随机误差 也包括系统误差 由于各样本的独立性 使得变差具有可分解性 即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和 用公式表达为 SST SSE SSA 10 对例1而言 计算结果见表3 表3单因素方差分析计算表 1 4 均方和 MeanSquare 各离差平方和的大小与观察值的多少有关 为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响 需要将其平均 这就是均方和 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度df 见表4所示 表中 表4方差分析表 5 构造检验统计量FF 组间方差 组内方差 MSA MSE 11 对例1而言 计算结果见表5 表5单因素方差分析计算表 2 在假设条件成立时 F统计量服从第一自由度为r 1 第二自由度为n r的F分布 将统计量F与给定的显著性水平 的临界值比较 可以作出拒绝或不能拒绝原假设的判断 见图1 图1F检验示意图 若F 则拒绝原假设 表明均值之间的差异显著 因素A对观察值有显著影响 若F 故应拒绝原假设 推销方式对销售量有影响 方差分析的计算比较烦 特别是在不均衡的情况下 如果我