辽宁省沈阳二中高三数学上学期10月月考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1已知a，b为不等的两个实数，集合m=a24a，1，n=b24b+1，2，f：xx表示把m中的元素映射到n中仍为x，则a+b=（）a1b2c3d42已知向量，不共线， =k+，（kr），=如果那么（）ak=1且与反向bk=1且与反向ck=1且与同向dk=1且与同向3若f（x）=ax3+3x2+2在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直，则实数a的值为（）a1b1c2d84已知abc和点m满足若存在实数m使得成立，则m=（）a2b3c4d55已知命题p1：函数y=2x2x在r为增函数，p2：函数y=2x+2x在r为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命题是（）aq1，q3bq2，q3cq1，q4dq2，q46如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）abcd7函数的一个单调增区间是（）abcd8已知在abc中，向量与满足（+）=0，且=，则abc为（）a三边均不相等的三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d等边三角形9在abc中，“a30”是“sina”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也必要条件10定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）af（sin）f（cos）bf（sin）f（cos）cf（sin1）f（cos1）df（sin）f（cos）11若f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yr），f（1）=2，则f（3）=（）a2b3c6d912已知函数f（x）的定义域为r，若存在常数k0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“海宝”函数给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=sinx+cosx；f（x）=；f（x）=3x+1其中f（x）是“海宝”函数的有（）个a1b2c3d4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=axxa（a0，且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是14如果（m+4）（32m），则m的取值范围是15如图，aob为等腰直角三角形，oa=1，oc为斜边ab的高，点p在射线oc上，则的最小值为16已知函数y=（acos2x3）sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知cosa=，sinb=c（1）求tanc的值；（2）若a=，求abc的面积18已知向量=（sinx，1），=（acosx， cos2x）（a0），函数f（x）=的最大值为6（）求a；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求g（x）在0，上的值域19在一个特定时段内，以点e为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点e正北55海里处有一个雷达观测站a某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点a北偏东45且与点a相距40海里的位置b，经过40分钟又测得该船已行驶到点a北偏东45+（其中sin=，090）且与点a相距10海里的位置c（）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由20已知f（x）=（xr）在区间1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合a；（）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由21已知关于x的函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围22设a为实数，函数f（x）=2x2+（xa）|xa|（1）若f（0）1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x（a，+），求不等式h（x）1的解集2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1已知a，b为不等的两个实数，集合m=a24a，1，n=b24b+1，2，f：xx表示把m中的元素映射到n中仍为x，则a+b=（）a1b2c3d4【考点】一元二次不等式的应用；映射【专题】计算题【分析】集合m中的两个元素的像都等于2不可能，都等于b24b+1 也不可能，故只有b24b+1=1，且a24a=2，最后结合方程的思想利用根与系数的关系即可求得a+b【解答】解：由题意知，b24b+1=1，且a24a=2，a，b是方程x24x+2=0的两个根，根据根与系数的关系，故a+b=4，故选d【点评】本题考查映射的定义，集合m中的元素和集合n中的元素相同，体现了分类讨论的数学思想2已知向量，不共线， =k+，（kr），=如果那么（）ak=1且与反向bk=1且与反向ck=1且与同向dk=1且与同向【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算【专题】平面向量及应用【分析】根据条件和向量共线的等价条件得，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k和的值即可【解答】解：，即k=，得，解得k=1，=，故选a【点评】本题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题3若f（x）=ax3+3x2+2在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直，则实数a的值为（）a1b1c2d8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出原函数的导函数，得到f（x）在x=1处的导数，再由f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直，得到f（x）在x=1处的导数值，从而求得a的值【解答】解：由f（x）=ax3+3x2+2，得f（x）=3ax2+6x，f（1）=3a+6，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+6，f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直，3a+6=3，即a=1故选：b【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直于斜率之间的关系，是中档题4已知abc和点m满足若存在实数m使得成立，则m=（）a2b3c4d5【考点】向量的加法及其几何意义【分析】解题时应注意到，则m为abc的重心【解答】解：由知，点m为abc的重心，设点d为底边bc的中点，则=，所以有，故m=3，故选：b【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理5已知命题p1：函数y=2x2x在r为增函数，p2：函数y=2x+2x在r为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命题是（）aq1，q3bq2，q3cq1，q4dq2，q4【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系【专题】简易逻辑【分析】先判断命题p1是真命题，p2是假命题，故p1p2为真命题，（p2）为真命题，p1（p2）为真命题【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y=2xln2ln2=ln2（），当x0，+）时，又ln20，所以y0，函数单调递增；同理得当x（，0）时，函数单调递减，故p2是假命题由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故选c【点评】只有p1与p2都是真命题时，p1p2才是真命题只要p1与p2中至少有一个真命题，p1p2就是真命题6如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；余弦函数的对称性【专题】计算题【分析】先根据函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值【解答】解：函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称由此易得故选a【点评】本题主要考查余弦函数的对称性属基础题7函数的一个单调增区间是（）abcd【考点】复合三角函数的单调性【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos2xcosx1，原函数看作g（t）=t2t1，t=cosx，对于g（t）=t2t1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选a【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题8已知在abc中，向量与满足（+）=0，且=，则abc为（）a三边均不相等的三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d等边三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】设，由=0，可得adbc，再根据边形aedf是菱形推出ead=dac，再由第二个条件可得bac=60，由abhahc，得到ab=ac，得到abc是等边三角形【解答】解：设，则原式化为=0，即=0，adbc四边形aedf是菱形， |=|cosbac=，cosbac=，bac=60，bad=dac=30，abhahc，ab=acabc是等边三角形【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题9在abc中，“a30”是“sina”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】常规题型【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提【解答】解：在abc中，a+b+c=180a3030a1800sin a1可判读它是sina的必要而不充分条件故选b【点评】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分10定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）af（sin）f（cos）bf（sin）f（cos）cf（sin1）f（cos1）df（sin）f（cos）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】观察题设条件与选项选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小【解答】解：x3，4时，f（x）=x2，故偶函数f（x）在3，4上是增函数，又定义在r上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项a中sincos，故a不对；b选项中sincos，故b不对；c选项中sin1cos1，故c对；d亦不对综上，选项c是正确的故应选c【点评】本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度11若f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yr），f（1）=2，则f（3）=（）a2b3c6d9【考点】抽象函数及其应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据抽象函数的关系进行代入求解即可【解答】解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+201=f（0）+f（1），f（0）=0f（0）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2（1）1=f（1）+f（1）2，f（1）=0f（1）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2（2）1=f（2）+f（1）4，f（2）=2f（2）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2（3）1=f（3）+f（1）6，f（3）=6故选：c【点评】本题是抽象函数及其应用类问题在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力12已知函数f（x）的定义域为r，若存在常数k0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“海宝”函数给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=sinx+cosx；f（x）=；f（x）=3x+1其中f（x）是“海宝”函数的有（）个a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】对于：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=x2|x|，x=0时，kr，x0时，化为k2015|x|，因此不存在k0，使得x0成立，即可判断出结论；同理可得也不是“海宝”函数对于：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=|x|，x0时，显然成立；当x0时，化为，可得：k，即可判断出结论【解答】解：对于：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=x2|x|，x=0时，kr，x0时，化为k2015|x|，因此不存在k0，使得x0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“海宝”函数；同理可得也不是“海宝”函数对于：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=|x|，x0时，显然成立；当x0时，化为，可得：k，因此只要取：k，则函数f（x）=是“海宝”函数故选：a【点评】本题考查了新定义“海宝”函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=axxa（a0，且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+）【考点】函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解【解答】解：令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=axxa有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当a1时符合题目要求故答案为：（1，+）【点评】作出图象，数形结合，事半功倍14如果（m+4）（32m），则m的取值范围是【考点】幂函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由（m+4）（32m），可得m+432m0，解出即可得出【解答】解：（m+4）（32m），m+432m0，解得故m的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15如图，aob为等腰直角三角形，oa=1，oc为斜边ab的高，点p在射线oc上，则的最小值为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，设=t0可得=t2t=，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，设=t0=t2t=当t=时取等号，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知函数y=（acos2x3）sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是，12【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】令t=sinx，t1，1，则函数令t=sinx，t1，1可化为y=at3+（a3）t，若函数y=（acos2x3）sinx的最小值为3，则at3+（a3）t3，at2+at+t+30，分类讨论a的取值上，可得实数a的取值范围【解答】解：函数y=（acos2x3）sinx=a（1sin2x）3sinx=asin3x+（a3）sinx，令t=sinx，t1，1，则y=at3+（a3）t，若函数y=（acos2x3）sinx的最小值为3，则at3+（a3）t3，即at3+（a3）t+3=（t1）（at2+at+t+3）0，t10，at2+at+t+30，若a0，则u=at2+at+3图象开囗向上，满足at2+at+30，函数图象与t轴最多只有一个交点，那么判断式必须小于等于0即：a212a0，a（a12）0，因a0，所以a120，即0a12；因t=sinx的值域是1，1，若t在区间1，1时函数at2+at+30，则此种情形符合题目要求因此只要考虑区间两端点的情况即可t=1时，at2+at+3，=aa+3，=3；说明a取任意实数，在1，1区间左端点处，函数 at2+at+30 成立t=1时，at2+at+3，=a+a+3，=2a+30，则a，即a时，在1，1区间右端点处，函数 at2+at+30 成立综合起来，说明a0时，能满足题意a=0时，原题可直接成立综合以上三种情况，可知a，12，故答案为：，12【点评】本题考查的知识点是三角函数的最值，二次函数的图象和性质，本题运算量大，综合性强，转化困难，属于难题三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知cosa=，sinb=c（1）求tanc的值；（2）若a=，求abc的面积【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】（1）由a为三角形的内角，及cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，再将已知等式的左边sinb中的角b利用三角形的内角和定理变形为（a+c），利用诱导公式得到sinb=sin（a+c），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanc的值；（2）由tanc的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosc的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinc的值，将sinc的值代入sinb=cosc中，即可求出sinb的值，由a，sina及sinc的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinb的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc的面积【解答】解：（1）a为三角形的内角，cosa=，sina=，又cosc=sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=cosc+sinc，整理得： cosc=sinc，则tanc=；（2）由tanc=得：cosc=，sinc=，sinb=cosc=，a=，由正弦定理=得：c=，则sabc=acsinb=【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18已知向量=（sinx，1），=（acosx， cos2x）（a0），函数f（x）=的最大值为6（）求a；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求g（x）在0，上的值域【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求a；（）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求出g（x）的表达式，通过x0，求出函数的值域【解答】解：（）函数f（x）=a（）=asin（2x+）因为a0，由题意可知a=6（）由（）f（x）=6sin（2x+）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin2（x+）+=6sin（2x+）的图象再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象因此g（x）=6sin（4x+）因为x0，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值3故g（x）在0，上的值域为3，6【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=asin（x+）的图象变换，考查计算能力19在一个特定时段内，以点e为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点e正北55海里处有一个雷达观测站a某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点a北偏东45且与点a相距40海里的位置b，经过40分钟又测得该船已行驶到点a北偏东45+（其中sin=，090）且与点a相距10海里的位置c（）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【考点】解三角形的实际应用【专题】综合题【分析】（1）先根据题意画出简图确定ab、ac、bac的值，根据sin=求出的余弦值，再由余弦定理求出bc的值，从而可得到船的行驶速度（2）先假设直线ae与bc的延长线相交于点q，根据余弦定理求出cosabc的值，进而可得到sinabc的值，再由正弦定理可得aq的长度，从而可确定q在点a和点e之间，根据qe=aeaq求出qe的长度，然后过点e作epbc于点p，则ep为点e到直线bc的距离，进而在rtqpe中求出pe的值在于7进行比较即可得到答案【解答】解：（i）如图，ab=40，ac=10，由于090，所以cos=由余弦定理得bc=所以船的行驶速度为（海里/小时）（ii）如图所示，设直线ae与bc的延长线相交于点q在abc中，由余弦定理得，=从而在abq中，由正弦定理得，aq=由于ae=5540=aq，所以点q位于点a和点e之间，且qe=aeaq=15过点e作epbc于点p，则ep为点e到直线bc的距离在rtqpe中，pe=qesinpqe=qesinaqc=qesin（45abc）=所以船会进入警戒水域【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力20已知f（x）=（xr）在区间1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合a；（）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】压轴题【分析】（）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之（）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零【解答】解：（）f（x）=，f（x）在1，1上是增函数，f（x）0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立设（x）=x2ax2，方法一：1a1，对x1，1，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f（1）=0以及当a=1时，f（1）=0a=a|1a1方法二：或0a1或1a01a1对x1，1，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f（1）=0以及当a=1时，f（1）=0a=a|1a1（）由，得x2ax2=0，=a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=1a1，|x1x2|=3要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立设g（t）=m2+tm2=mt+（m22），方法一：g（1）=m2m20，g（1）=m2+m20，m2或m2所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时，m0，g（1）=m2m20或m0，g（1）=m2+m20m2或m2所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2【点评】本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力21已知关于x的函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）=f（x）+1没有零点，