高考数学总复习 第3单元 第1节 导数的概念及运算课件 文 苏教版.ppt

第一节导数的概念及运算 第三单元导数及其应用 基础梳理 1 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 1 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率为 2 平均变化率是曲线陡峭程度的 或者说 曲线陡峭程度是平均变化率的 2 函数f x 在x x0处的导数 1 定义设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若dx无限趋近于0时 比值 无限趋近于一个常数a 则称f x 在x x0处可导 并称该常数a为函数f x 在x x0处的导数 记作 2 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 处的 相应地 切线方程为 3 函数f x 的导函数若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的 而 因而也是自变量x的函数 该函数称为f x 的导函数 记作 4 基本初等函数的导数公式 5 导数运算法则 1 f x g x 2 cf x c为常数 3 f x g x 4 g x 0 6 复合函数的导数一般地 若y f u u ax b 则y x y u u x 即y x y u a 答案 1 1 2 数量化视觉化2 1 f x0 2 x0 f x0 切线的斜率y f x0 f x0 x x0 3 变化变化f x 4 k012x3x2 axa 1axlnaexcosx sinx5 1 f x g x 2 cf x c为常数 3 f x g x f x g x 4 基础达标 1 函数f x 2x b在区间 m n 上的平均变化率为 2 若f x0 2 则当k无限趋近于0时 3 函数y x3 cosx的导数为 4 选修2 2p26第4题改编 曲线y x cosx在x 处的切线与直线ax y 1 0垂直 则a的值为 5 选修2 2p26第6题改编 曲线y x2 3x 8在与直线y 2的交点处的切线方程为 答案 1 2解析 一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的斜率 2 1解析 f x0 1 3 3x2 sinx解析 y x3 cosx x3 cosx 3x2 sinx 4 1解析 y sinx 故k y x sin 1 由于切线与直线ax y 1 0垂直 故 a 1 即a 1 5 7x y 12 0和7x y 33 0解析 当y 2时 x2 3x 10 0 解得x 2或 5 即切点分别为 2 2 和 5 2 又y 2x 3 则两切线的斜率分别为7和 7 所以切线方程为y 2 7 x 2 和y 2 7 x 5 化简可得切线方程为7x y 12 0和7x y 33 0 经典例题 题型一导数的定义 例1 设函数f x 存在导数 当t无限趋近于0时 化简 解 当t无限趋近0时 原式 4f a 5f a f a 题型二导数的运算 例2 求下列函数的导数 1 y x2 sinx 2 y 3 y 3x3 4x 2x 1 4 y 解 1 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 3 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 4 y 1 x2 1 x2 1 x2 x 1 x2 变式2 1求下列函数的导数 1 y x3 2 y sin 3 y xe1 cosx 解 1 2 y sin sinx y sinx cosx 3 y xe1 cosx e1 cosx x e1 cosx e1 cosx x e1 cosx 1 cosx e1 cosx xe1 cosx sinx 1 xsinx e1 cosx 题型三导数的物理意义 例3 一质点运动的方程为s 8 3t2 1 求质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度 2 求质点在t 1的瞬时速度 解 1 质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度为 2 方法一 定义法 由 1 得 3 t 6 当 t趋于0时 趋于定值 6 质点在t 1时的瞬时速度为 6 方法二 求导法 质点在t时刻的瞬时速度v s t 6t 当t 1时 v 6 题型四导数的几何意义及在几何上的应用 例4 已知曲线y x3 1 求曲线在点p 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 解 1 y x2 在点p 2 4 处的切线的斜率k y x 2 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 2 设曲线y x3 与过点p 2 4 的切线相切于点a 则切线的斜率k y x x0 x02 切线方程为y x02 x x0 即 点p 2 4 在切线上 即 x02 x0 1 4 x0 1 x0 1 0 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0 变式4 1求曲线y ln 2x 1 上的点到直线2x y 3 0的最短距离 解 设曲线上过点p x0 y0 的切线平行于直线2x y 3 0 即斜率是2 则y x x0 x x0 2 解得x0 1 所以y0 0 即点p 1 0 点p到直线2x y 3 0的距离为 曲线y ln 2x 1 上的点到直线2x y 3 0的最短距离是 易错警示 例 函数y 2x2 3过点p 2 9 的切线方程为 错解由y 2x2 3 可得y 4x 故y x 2 8 切线的斜率为8 切点为p 2 9 故切线方程为y 9 8 x 2 即8x y 7 0 错解分析 切线所过定点并不一定是切点 即使此点在曲线上 也有可能另有切点存在 正解 设过点p的切线的切点为t x0 y0 则切线的斜率为4x0 又kpt 故 4x0 所以2x02 8x0 6 0 解得x0 1或x0 3 即切线pt的斜率为4或12 所以过点p的切线为y 4x 1或y 12x 15 链接高考 2010 全国 改编 若曲线y x 在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18 则a 知识准备 1 知道曲线y x 在x a处的切线方程的斜率是在此点处的导