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考前解析几何大题训练（1） 1.已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.2.平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.3.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.4.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.考前解析几何大题训练（2）5.如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为. （）求椭圆的方程；（）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.6.已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(i)若|AC|BD|，求直线l的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形7.已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到直线的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程考前解析几何大题训练（3）9.已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由10.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由11.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值；(ii)求ABQ面积的最大值12.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程考前解析几何大题训练（4）13.如图15所示，椭圆E：1(ab0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .图15(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由14.已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)图1615. 已知动点P(x，y)到直线l：x2的距离是它到定点F(1，0)的距离的倍(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1，0)作与x轴垂直的直线与轨迹C在第三象限的交点为Q，过F(1，0)的动直线与轨迹C相交于不同的两点A，B，与直线l相交于点M，记直线QA，QB，QM的斜率依次为k1，k2，k3，试证明：为定值16.如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，设点（），连接交椭圆于点，坐标原点是（1）证明：；（2）若四边形的面积是，求的值1.已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.由已知，又， 解得椭圆的方程为.方法一：设椭圆上一点，则.直线：,令，得.直线：,令，得.将代入上式得故为定值.2.平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】() 由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，所以椭圆的方程为() （i）设点坐标为，由得，所以在点处的切线的斜率为，因此切线的方程为，设，将代入，得于是，又，于是直线的方程为联立方程与，得的坐标为所以点在定直线上（ii）在切线的方程为中，令，得，即点的坐标为，又，所以； 再由，得于是有 令，得当时，即时，取得最大值此时，所以点的坐标为所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为3.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】（）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.4.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.(第19题图)5.如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为. （）求椭圆的方程；（）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.6.已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(i)若|AC|BD|，求直线l的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28，故C2的方程为1.(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)(i)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.(ii)证明：由x24y得y，所以C1在点A处的切线方程为yy1(xx1)，即y.令y0，得x，即M，0，所以，1.而(x1，y11)，于是y1110，因此AFM是锐角，从而MFD180AFM是钝角故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形7.已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解：(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，c.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26.又由已知，得t，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，则m，即ymx(x0)与椭圆方程联立，整理可得m2.当x，1时，有yt(x1)0，于是m，得m，.当x(1，0)时，有yt(x1)0，因此mb0)的离心率为，且右焦点F到直线的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解：(1)由题意，得，且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1，2，C点的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1，此时直线AB的方程为yx1或yx1.9.已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由20解：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得直线OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP .将点的坐标代入(1)中l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM，于是2，解得k14，k24.因为k0，k3，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形10.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意得解得a22，故椭圆C的方程为y21，设M(xM，0)因为m0，所以1nb0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值；(ii)求ABQ面积的最大值20解：(1)由题意知2a4，则a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知，椭圆E的方程为1，(i)设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，且1，即1，所以2，即2.(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x2，x1x2，所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0b0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图17，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程图1720解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.13.如图15所示，椭圆E：1(ab0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .图15(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得，点(，1)在椭圆E上，因此解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点如果存在定点Q满足条件，则有1，即|QC|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，)由，得，解得y01或y02，所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)下面证明：对任意直线l，均有.当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k.易知点B关于y轴对称的点B的坐标为(