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第三章 函数的应用 3 1函数与方程 3 1 1 方程的根与函数的零点 1 对于函数y f x 使f x 0的实数x叫做函数y f x 的 零点 1 2 函数f x x2 1的零点为 3 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的 实数根 横坐标 4 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 交点 零点 5 函数零点存在性定理 如果函数y f x 在 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 那么y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c c也就是方程f x 0的根 0 0 重点 准确理解函数的零点 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有 或有几个零点 就是判断方程f x 0是否有 或有几个实根 3 函数零点存在性定理的条件是充分条件 即若f a f b 0不成立 函数y f x 在区间 a b 内亦可能存在零点 重难点 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点坐 标的关系三者之间是互相等价的关系 因此 求y f x 的零点 从数的角度分析就是求f x 0的根 从形的角度分析就是求y f x 的图象与x轴交点的横坐标 求函数的零点 例1 求下列函数的零点 思维突破 将函数解析式转化为方程 通过方程求函数的 零点 一般可以借助求根公式 因式分解或换元等方法求方程的根 从而得到函数的零点 1 1 若f x ax b b 0 有一个零点3 则函数g x bx2 3ax的零点是 0 1 1 2 若函数f x x2 ax b的零点是2和 4 求a b的值 判断零点所在的大致区间 例2 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 b a 2 1 c 0 1 b 1 0 d 1 2 判断零点所在大致区间的方法 f a f b 0 且图象在 a b 上连续 则f x 在区间 a b 内有零点 利用函数图象直接观察判断 a 2 2 利用函数的图象 指出函数f x x3 2x 1的零点 所在的大致区间 解 借助计算器或计算机作出x f x 的对 应值表 如表 及其图象 如图12 由列表和图象知 f 0 0 f 1 0 即f 0 f 1 0 说明函数f x 在区间 0 1 内有零点 又函数f x 在定义域 上单调递减 所以函数f x 的零点只有一个 所在大致区间为 0 1 图12 根据二次函数零点分布确定参系数范围 例3 已知函数f x x2 a2 1 x a 2的一个零点比1 大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 思维突破 函数的零点即为方程的根 利用韦达定理或数 形结合求解 解法二 函数f x x2 a2 1 x a 2的简图如图1 图1 用方程的实根分布 求函数中的参数范围时注意 判别式 韦达定理 对称轴 函数值的大小 开口方向等等 0 a
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