【优化方案】高中数学 第2章2.3.1平面向量基本定理精品课件 苏教版必修4.ppt

2 3向量的坐标表示2 3 1平面向量基本定理 学习目标了解平面向量基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解 课堂互动讲练 课前自主学案 知能优化训练 2 3 1平面向量基本定理 课前自主学案 上节课已经学习过向量的数乘 所谓向量的数乘为 记为 它的长度与方向规定如下 1 a 2 当 时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向 实数 与向量a的积 a a 0 相反 1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 的向量 那么对于这一平面内的任一向量a 一对实数 1 2 使a 我们把 的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 的形式 我们称为向量的分解 当e1与e2 时 就称为向量的正交分解 不共线 有且只有 1e1 2e2 不共线 1e1 2e2 互相垂直 2 向量共线定理与平面向量基本定理的关系 1 由平面向量共线定理知 任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示 而且这种表示是惟一的 2 由平面向量基本定理知 任一平面向量可以用不共线的两个非零向量来线性表示 而且这种表示是惟一的 上述两个定理都可以看成 在一定范围内的 向量分解 惟一性 定理 平面向量的基底不惟一 一个向量的分解怎么是惟一的 提示 平面向量基本定理中 实数 1 2的惟一性是相对于基底e1 e2而言的 平面内任意两个不共线的向量都可作为基底 一旦选定一组基底 则给定向量沿着基底的分解是惟一的 同一平面可以有不同的基底 就像平面上可选取不同的坐标系一样 在不同基底下的实数对 1 2不同 课堂互动讲练 平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构 即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 如果e1 e2是平面 内所有向量的一组基底 是实数 判断下列说法是否正确 并说明理由 1 若 满足 e1 e2 0 则 0 2 对于平面 内任意一个向量a 使得a e1 e2成立的实数 有无数对 3 线性组合 e1 e2可以表示平面 内的所有向量 4 当 取不同的值时 向量 e1 e2可能表示同一向量 思路点拨 利用基底的概念 结合基底的特征来判断 3 正确 平面 内的任一向量a可表示成 e1 e2的形式 反之也成立 4 不正确 结合向量加法的平行四边形法则易知 只有当 e1和 e2确定后 其和向量 e1 e2才惟一确定 名师点评 1 对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示 反之 平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式 2 向量的基底是指平面内不共线的向量 事实上若e1 e2是基底 则必有e1 0 e2 0 且e1与e2不共线 如0与e1 e1与2e1 e1 e2与2 e1 e2 等均不能构成基底 根据平面向量基本定理知 只要在平面内选择一组 两个 不共线向量作为基底 便可将平面内任一向量惟一表示 主要靠平行四边形法则和三角形法则 有时也可利用待定系数法 利用向量证明几何问题时常常选取问题中的不共线的线段对应的向量为基底 以增加解决问题时的方向性 就本题而言 充分利用三点共线和基底表示向量的惟一性来构建方程 当然最终结论的获得在于 同一法 名师点评 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是 在平面上找一点 证明这点到三条线段中点的向量相等 找点时 要考虑运算的简便性 自我挑战2用向量法证明三角形的三条中线交于同一点 1 同一个平面内 所有向量的基底可以有很多组 只要两个向量是不共线向量 它们都可以作为一组基底 2 根据平面向量基本定理可知 用指定