数学人教版五年级下册关于求一个数因数方法的探讨.docx

追本溯源 深入挖掘- 关于求一个数因数方法的探讨一、提出问题教材：人教版五年级下册第二单元（第6页）例题2：18的因数有哪几个？分析：在教材中列出了两个算式：181=18 和182=9后面是省略号，右边云图中有个问题（18除以哪些整数的结果是整数？）。问题：1、 教材只写出了除数的起始值并没有明确提示计算到除数为多少为止，怎么确定呢？2、 这种方法是否是最好的？是否符合各种情况？有多少种方法？哪种方法最好？二、方法分析定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。用字母表示：如果ab=c（b0），那么a是b的倍数，b是a的因数。（一）方法1根据因数的定义，我们使用除法计算来找一个数的因数。1、详细步骤除数的值怎么确定呢？我们从1开始为除数进行试除，然后除数逐步增加1。列出以下式子（边写边在圆圈中写出找到的因数）：181=18182=9183=618的因数184=42185=331、2、3、6、9、18186=3187=24188=22189=21810=181811=171812=161813=151814=141815=131816=121817=111818=11819= 这个算式还需要计算吗？为什么？（19比18大所以商为小数）1820= 这个算式还需要计算吗？为什么？比20更大的数为除数的算式呢？我们可以得到以下结论：被除数比除数小，商一定是小数，所以比被除数更大的除数不需要再算，只需要算到除数和被除数相同为止。这就明确了除数的范围：从1到这个数本身。我们用了多少个算式？（18个）也就是说我们做了18次除法计算，被除数是多少我们就计算了多少次。到这里，我想到有个问题：如果要我们求9699690的因数，会出现什么情况？（要计算9699690次）想到了什么？（看是否能减少计算次数）怎么来减少呢？我们观察这18个算式，看看有没有什么发现。我们发现：除数为10到17时，这些算式的计算结果都有余数，而且具有连续性（除数递增，余数递减，商都是1）。为什么会出现这种现象？大家看下这些除数对应的除法算式（加粗倾斜部分）：181=18182=9183=6184=42185=33186=3187=24188=22189=21810=181811=171812=161813=151814=141815=131816=121817=111818=1发现了什么？（这些除数都超过了被除数的一半，商为1且有余数）根据因数的定义，我们可以得到以下结论：如果除数大于被除数的一半（和被除数相等的除数除外），求出的商一定是1-2之间的小数，那么我们可以说这个除数不是被除数的因数。根据以上结论，我们把除数为10到17的算式去除：181=18182=9183=6184=42185=33186=3187=24188=22189=21818=1现在剩下了10个算式，相比较来说简化了许多。是不是还可以进行优化，使得计算次数更少呢？下面我们调整下部分算式的位置：181=181818=1182=9189=2183=6186=3184=42185=33187=24188=22看看前3组算式，发现了什么？发现：如果除数是被除数的因数，那么商也是被除数的因数。用字母表示即：如果ab=c（a、b、c为非0自然数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。也就是说我们可以只使用一组算式中的一个，这样又可以进行简化。我们把上面的3组算式中每组算式的后一个去除，简化后得到：18的因数181=18182=91 、2、3、18、9、6183=6184=42185=33187=24188=22通过简化，我们把除数大于或等于被除数的式子都去掉了（这里去掉了189=2和1818=1），现在只剩7个算式了。我们参照上面的算式，按照计算顺序在圆圈中成对的写出18的因数。我们对比下前面两个圆圈写出的因数，发现了什么？（因数相同，但是写的位置不同）为什么？（使用的方法不同）那么可不可以说：我们根据前3个算式已经找到了18的所有的因数，后面的4个算式是否多余？（也就是我们是否还需要进行后面的4个除法计算？）下面大家看下这表格：被除数除数商余数181181829183618442185331872418822一般的，我们算到除数大于商为止。所以算式185=33 依然写下，而其余2个算式187=24188=22可以简化去掉。我们再把上面的算式简化后得到：181=18182=9183=6184=42185=33现在只剩5个算式了，也就是我们只需要计算5次。梳理下简化过程，整个过程进行了四步：首先，除数从1开始递增，用被除数除以除数，找出因数，总共计算了18次；然后，发现18个算式中除数大于被除数（等于被除数除外）一半的算式不用写，因为除数一定不是被除数的因数，简化后只需要计算10次；其次，分析算式发现如果除数是被除数的因数，那么商也是被除数的因数。据此进行简化掉多余的算式，剩下7个算式；最后，继续对算式分析，我们发现当除数增加到比商大时不需要再计算了，又可以进行简化，最后剩下5个算式。2、实际运用下面我们找下36的因数。写出除法算式：361=36362=18363=12364=9365=71366=6367=51除数大于商，写到这里为止。问题：最后这算式里除数和商都是6，那么在圆圈中怎么写？（只写1个）3、 探讨（1）为什么不说“一般的，我们算到除数与商相同为止。”？被除数除数商余数被除数除数商余数被除数除数商余数1811836136571571829362185722811836363125731918442364957414118533365715751121872436665768118822367515779357871比如这里用底色标出的找18和36的因数的步骤，都出现了除数与商相同的情况，只是前一个这步有余数，后一个这步中除数是被除数的因数。而求57的因数的后两个式子并没有出现除数与商相同（即使有余数）的情况，所以我们不能说算到除数与商相同为止，而要算到除数大于商为止。（2）为什么可以说“一般的，我们算到除数大于商为止”？因为我们实际需要计算的次数为a （a为非0自然数） 的向下取整值。（二）方法2用字母表示乘法算式：ab=c（a、b、c为非0自然数）。如果ab=c我们就说a和b是c的因数，c是a和b的倍数。据此，我们使用乘法来找一个数的因数。还是找18的因数。根据乘法口诀表：118=1829=1836=18得到18的因数：1、2、3、6、9、18三、方法对比我们看到方法2使用的是乘法口诀表，也就是说这种方法基于口诀表。这种方法简洁，但是有一定的限制：如果要找一个在乘法口诀表内没有的数的因数，就会出现问题。如找91的因数，乘法口诀表里面并没有哪两个数相乘等于91，只有使用除法计算了，否则容易遗漏答案。找91的因数的步骤：911=91912=451913=301914=223915=181916=151917=13这步最容易遗漏918=113919=1019110=91我们得到了91的所有因数：1、7、13、91是不是第二种方法不可取？不是，如果求100以内的数的因数，大部分情况下我们可以采用乘法。一般的情况下采用除法来查找一个数的因数，也就是说使用除法具有通用性，所以这就是为什