《2.3.2　数学归纳法的应用》导学案.doc

2.3.2数学归纳法的应用导学案课程目标 引航1进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧2了解贝努利不等式，并能利用它证明简单的不等式基础知识 梳理1用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式尤其是第二步：一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”，另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法【做一做11】设f(k)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f (k)k2成立【做一做12】证明1n1(n1)当n2时，中间式子等于_2贝努利不等式对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n_知识拓展当指数n推广到任意实数且x1时，若01，则(1x)1x；若0或1，则(1x)1x当且仅当x0时等号成立【做一做2】设nN，求证：3n2n答案：【做一做11】D由题意，设f(k)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”因此对于选项A，不一定有k1，2时成立对于选项B，C显然错误，对于选项D，f(4)2542，因此对于任意的k4，总有f(k)k2成立【做一做12】1当n2时，中间式子为121nx【做一做2】分析：利用贝努利不等式来证明证明：3n(12)n，根据贝努利不等式，有(12)n1n212n上式右边舍去1，得(12)n2n3n2n成立重点难点 突破1观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立或不成立都需要预先归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是由归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确地归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了在观察与归纳时，n的取值不能太少，因为前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论2从“nk”到“nk1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式的问题中，从“nk”到“nk1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“nk”到“nk1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“nk”到“nk1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构题型一用数学归纳法证明不等式【例1】已知数列an满足：a1，a(an12)an2an110求证：1an0分析：利用数学归纳法证明反思：在利用数学归纳法证明不等式时，要注意式子的变形，通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式题型二利用贝努利不等式证明不等式【例2】设n为正整数，记ann1，n1，2，3，求证：an1an分析：用求商比较法证明an1an，其中要用贝努利不等式反思：本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立题型三易错辨析【例3】求证：1错解：证明：(1)当n1时，左边1成立(2)假设当nk(kN，且k1)时，1成立，则当nk1时，11成立由(1)，(2)知，原不等式成立 错因分析：上述证明中，从k到k1，只添加了一项是错误的分母是相邻的自然数，故应有反思：在利用数学归纳法证明的过程中，第(2)步由nk到nk1时，注意项数的增加和减少，往往会有减项也有增项，这些一定要弄清楚答案：【例1】证明：(1)当n1时，a1(1，0)，结论成立(2)假设当nk(k1且kN)时，1ak0成立当nk1时，ak1(ak2)2，1ak0，1ak22，又yt在t(1，2)内为增函数，ak2ak1，则1ak10，当nk1时，1ak10成立综合(1)，(2)知，对一切nN，1an0成立【例2】证明：由an的定义，知对一切n1，2，3，an为正数，所以只需证1，n1，2，3，由于n11n1n1n1，因此，根据贝努利不等式，有1anan1对于一切正整数n都成立【例3】正解：证明：(1)当n1时，左边1成立(2)假设当nk(kN，且k1)时，1成立，则当nk1时，1111，当nk1时，等式成立，由(1)(2)知原不等式成立随堂练习 巩固1用数学归纳法证明1n(nN，且n1)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A12 B12 C12 D122f(n)1(nN)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)推测：当n2时，有()Af(2n1) Bf(2n) Cf(2n) Df(2n1)3用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标是()ABCD4已知acdb0，abcd，n为大于1的正整数，求证：anbncndn答案：1Cn2时，左边1，右边2，所以应证12成立2Bf(2)；f(4)2，即f(22)；f(8)，即f(23)；f(16)3，即f(24)；f(32)，即f(25)故猜想f(2n)(n2)3A注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当nk1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以nk1时，应